수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구하고, 극값 조건을 이용해 $a,b$의 값을 찾습니다.

$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+1$을 미분하면 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$가 됩니다.

함수가 $x=-1$과 $x=3$에서 극값을 가지므로, $f^{\prime }(-1)=0$이고 $f^{\prime }(3)=0$이어야 합니다.

즉, 이차방정식 $f^{\prime }(x)=0$의 두 근이 $-1$과 $3$이라는 뜻이죠.

최고차항의 계수가 3이므로 $f^{\prime }(x)=3(x+1)(x-3)$으로 식을 세울 수 있어요.

이를 전개하면 $f^{\prime }(x)=3(x^2-2x-3)=3x^2-6x-9$가 됩니다.

원래 구했던 $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$와 계수를 비교하면,

$2a=-6$에서 $a=-3$,

$b=-9$가 됩니다.

step2. 완성된 함수 $f(x)$의 식을 적습니다.

구한 $a,b$의 값을 원래 함수에 대입하면,

$f(x)=x^3-3x^2-9x+1$이 됩니다.

step3. $x=-1$을 대입하여 극댓값을 계산합니다.

문제에서 $x=-1$에서 극대라고 했으므로, 우리가 구해야 할 극댓값은 $f(-1)$입니다.

극댓값을 구하라고 했는데 실수로 $x=3$을 대입하여 극솟값을 구하지 않도록 조심하세요.

$f(-1)=(-1{)}^3-3(-1{)}^2-9(-1)+1$

$=-1-3+9+1=6$

따라서 극댓값은 6입니다.

step1. 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구하고, 극값 조건을 이용해 $a,b$의 값을 찾습니다.

$f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$

--- $x=-1,3$에서 극값을 가지므로

$f^{\prime }(x)=3(x+1)(x-3)=3x^2-6x-9$

계수 비교: $2a=-6⟹a=-3$, $b=-9$

step2. 완성된 함수 $f(x)$의 식을 적습니다.

$f(x)=x^3-3x^2-9x+1$

step3. $x=-1$을 대입하여 극댓값을 계산합니다.

--- $x=-1$에서 극대이므로

$f(-1)=-1-3+9+1=6$

$\therefore ③$