수학여정 - 문제 분석 리포트

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 2번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류수학2 · 미분계수 / 함수의 극한
난이도하

🔍 이해용 풀이

문제
2. 함수 f(x)=2x2−x에 대하여 limx→1f(x)−1x−1의 값은? [2점]
① 1    ② 2    ③ 3    ④ 4    ⑤ 5

1. 문제의 요지

이 문제는 미분계수의 정의를 이해하고 다항함수의 미분법을 이용하여 극한값을 계산할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

2. 주어진 조건

- f(x)=2x2−x
- limx→1f(x)−1x−1의 값을 구해야 함

3. 풀이의 순서

이 문제는 미분계수의 정의를 이용하거나, 식을 직접 대입하여 인수분해하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. f(1)의 값을 확인하여 주어진 극한식이 미분계수 f′(1)을 의미하는지 파악합니다.

step2. 도함수 f′(x)를 구합니다.

step3. x=1을 대입하여 f′(1)의 값을 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 미분계수의 정의 : f′(a)=limx→af(x)−f(a)x−a

- 다항함수의 미분법 : f(x)=xn일 때, f′(x)=nxn−1 (단, n은 자연수)

5. 구체적 풀이

극한식을 보면 분모가 x−1이므로 x→1일 때 분모가 0이 됩니다. 분자도 0이 되어야 극한값이 존재하겠죠? f(1)−1이 0인지 확인해보면, 이 식이 미분계수의 정의와 자연스럽게 연결된다는 것을 알 수 있어요.

step1. 극한식의 의미 파악하기

먼저 x=1일 때 함숫값 f(1)을 계산해볼까요?

f(1)=2(1)2−1=1입니다.

어라, 주어진 극한식의 분자에 있는 1이 바로 f(1)과 같네요!

따라서 주어진 식은 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있어요.

limx→1f(x)−1x−1=limx→1f(x)−f(1)x−1

이것은 미분계수의 정의에 따라 f′(1)을 의미합니다.

분자의 상수가 f(1)과 같은지 확인하지 않고 무작정 미분만 하면 실수를 할 수 있으니 꼭 확인하는 습관을 들이세요.

step2. 도함수 구하기

이제 f′(1)을 구하기 위해 먼저 도함수 f′(x)를 구해봅시다.

f(x)=2x2−x를 미분하면,

f′(x)=4x−1이 됩니다.

step3. 미분계수 계산하기

구해둔 도함수에 x=1을 대입하여 f′(1)을 계산해볼게요.

f′(1)=4(1)−1=3

따라서 우리가 구하고자 하는 극한값은 3입니다.

(참고로, f(x)를 직접 대입하여 2x2−x−1x−1=(2x+1)(x−1)x−1=2x+1로 약분한 뒤 x=1을 대입해도 똑같이 3을 얻을 수 있답니다.)

[정답] ③

⚡ 실전용 풀이

step1. 극한식의 의미 파악

f(1)=2(1)2−1=1

limx→1f(x)−1x−1=limx→1f(x)−f(1)x−1=f′(1)

step2. 도함수 구하기

f′(x)=4x−1

step3. 미분계수 계산하기

f′(1)=4(1)−1=3

∴③

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

극한 기호 안의 식을 어떻게 처리해야 할지 몰라 당황할 수 있어요.
분자가 f(x)−1로 주어져 있어서, 이것이 미분계수의 형태인 f(x)−f(1)임을 바로 눈치채지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

f(1)의 값을 직접 계산해보고, 분자의 1이 f(1)과 같음을 확인하여 미분계수의 정의를 떠올려보세요.
또는 f(x) 식을 직접 대입하여 분자를 인수분해한 뒤 약분하는 함수의 극한 기본 풀이법을 적용해도 좋습니다.
팁: 00 꼴의 극한에서는 미분계수의 정의를 의심해보는 것이 좋습니다.

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