(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 16번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 로그의 진수 조건을 먼저 구한 뒤, 밑을 통일하여 이차방정식을 푸는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 로그의 진수 조건을 이용하여 $x$ 의 범위를 구합니다.

step2. 로그의 성질을 이용하여 양변의 밑을 같게 통일합니다.

step3. 진수끼리 비교하여 이차방정식을 풀고, step1의 조건에 맞는 최종 해를 구합니다.

4. 풀이의 도구

- 로그의 진수 조건 : $\log_{a} N$ 이 정의되기 위해서는 밑 $a > 0, a \neq 1$ 이고 진수 $N > 0$ 이어야 합니다.

- 로그의 밑의 변환 성질 : $\log_{a} b = \log_{a^{m}} b^{m}$ (단, $a > 0, a \neq 1, b > 0, m \neq 0$ )

5. 구체적 풀이

로그방정식을 보면 가장 먼저 '진수는 0보다 커야 한다'는 사실을 떠올려야 해요. 그 다음, 양변의 밑이 2와 4로 다르므로 이를 하나로 통일해야 진수끼리 비교할 수 있습니다.

step1. 진수 조건 구하기

로그가 정의되려면 진수가 항상 양수여야 해요.

좌변의 진수에서 $x - 1 > 0$ 이므로 $x > 1$ 이에요.

우변의 진수에서 $13 + 2 x > 0$ 이므로 $x > - \frac{13}{2}$ 이에요.

두 조건을 모두 만족해야 하므로, 공통 범위인 $x > 1$ 이 이 방정식의 해가 될 수 있는 조건이 됩니다. 나중에 구한 답이 이 범위에 있는지 꼭 확인해야 해요.

step2. 로그의 밑 통일하기

좌변은 밑이 2, 우변은 밑이 4예요. 진수끼리 비교하려면 밑을 같게 만들어야 하죠.

밑을 4로 통일하는 것이 계산에 편리해요. $\log_{a} b = \log_{a^{2}} b^{2}$ 성질을 이용하면 분수 없이 깔끔하게 정리할 수 있거든요.

좌변의 밑과 진수를 각각 제곱하면 $\log_{2} (x - 1) = \log_{2^{2}} (x - 1)^{2} = \log_{4} (x - 1)^{2}$ 이 됩니다.

이제 방정식은 $\log_{4} (x - 1)^{2} = \log_{4} (13 + 2 x)$ 가 되었어요.

step3. 진수 비교 및 이차방정식 풀이

양변의 밑이 4로 같아졌으니, 진수끼리 같다고 놓을 수 있어요.

$(x - 1)^{2} = 13 + 2 x$

좌변을 전개하면 $x^{2} - 2 x + 1 = 13 + 2 x$ 가 됩니다.

우변의 항들을 좌변으로 이항하여 정리하면,

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$ 이 되죠.

이 이차방정식을 인수분해하면 $(x - 6) (x + 2) = 0$ 이므로,

$x = 6$ 또는 $x = - 2$ 가 나옵니다.

하지만 단계 1에서 구한 진수 조건이 $x > 1$ 이었죠?

따라서 $x = - 2$ 는 버리고, 조건을 만족하는 $x = 6$ 만이 최종 정답이 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 진수 조건

$x - 1 > 0 ⟹ x > 1$

$13 + 2 x > 0 ⟹ x > - \frac{13}{2}$

$∴ x > 1$

step2. 밑 통일

$\log_{2} (x - 1) = \log_{4} (13 + 2 x)$

$\log_{4} (x - 1)^{2} = \log_{4} (13 + 2 x)$ --- 밑을 4로 통일

step3. 진수 비교 및 이차방정식 풀이

$(x - 1)^{2} = 13 + 2 x$

$x^{2} - 2 x + 1 = 13 + 2 x$

$x^{2} - 4 x - 12 = 0$

$(x - 6) (x + 2) = 0$

$x = 6$ 또는 $x = - 2$

$x > 1$ 이므로 $x = 6$

$∴ 6$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

로그방정식을 풀 때 진수 조건을 먼저 확인하지 않아 무연근( $x = - 2$ )까지 답으로 적는 실수를 할 수 있습니다.
밑이 다른 두 로그를 같게 만들기 위해 밑을 변환하는 과정에서 $\log_{2} (x - 1)$ 을 $\log_{4} (x - 1)^{2}$ 으로 바꾸는 성질을 헷갈릴 수 있습니다.

🔑 돌파구

로그방정식을 풀 때는 가장 먼저 '진수는 0보다 크다'는 조건을 찾아 범위를 구해두는 습관을 들여야 합니다.
밑을 같게 만들 때는 $\log_{a} b = \log_{a^{n}} b^{n}$ 성질을 이용해 작은 밑을 큰 밑으로 맞추면 분수가 생기지 않아 계산이 편리합니다.

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 16번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 로그함수 / 로그방정식
난이도	하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구