수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $b$를 $a$에 대한 식으로 나타내기

$f(x)$를 미분하면

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}-x^2-2ax-b\hfill & (x<0)\hfill \\ x^2+2ax-b\hfill & (x>0)\hfill \end{array}$

함수가 $x=-1$을 기준으로 감소에서 증가로 바뀌므로 $f^{\prime }(-1)=0$이어야 합니다.

$f^{\prime }(-1)=-(-1{)}^2-2a(-1)-b=-1+2a-b=0$

따라서 $b=2a-1$입니다.

$x=-1$에서 도함수의 부호가 바뀌므로 $f^{\prime }(-1)=0$임을 이용하여 문자를 줄입니다.

step2. $x<0$ 구간에서 $a$의 범위 구하기

$b=2a-1$을 $x<0$일 때의 도함수에 대입하면

$f^{\prime }(x)=-x^2-2ax-(2a-1)=-(x^2+2ax+2a-1)$

이 식은 $x=-1$을 근으로 가지므로 인수분해가 됩니다.

$f^{\prime }(x)=-(x+1)(x+2a-1)$

조건에서 $x\le -1$일 때 감소하므로 $f^{\prime }(x)\le 0$이어야 합니다.

$-(x+1)(x+2a-1)\le 0⟹(x+1)(x+2a-1)\ge 0$

$x\le -1$이면 $x+1\le 0$이므로 $x+2a-1\le 0$이어야 합니다.

즉, $x\le 1-2a$가 $x\le -1$인 모든 $x$에 대해 성립해야 하므로 $-1\le 1-2a⟹a\le 1$입니다.

또한, $-1\le x<0$일 때 증가하므로 $f^{\prime }(x)\ge 0$이어야 합니다.

$-(x+1)(x+2a-1)\ge 0⟹(x+1)(x+2a-1)\le 0$

$x+1\ge 0$이므로 $x+2a-1\le 0$이어야 합니다.

즉, $x\le 1-2a$가 $-1\le x<0$인 모든 $x$에 대해 성립해야 하므로 $0\le 1-2a⟹a\le \frac{1}{2}$입니다.

따라서 $x<0$ 구간에서의 조건은 $a\le \frac{1}{2}$입니다.

step3. $x\ge 0$ 구간에서 $a$의 범위 구하기

$x\ge 0$일 때 $f^{\prime }(x)=x^2+2ax-2a+1$입니다.

이 구간에서도 함수가 증가해야 하므로 $f^{\prime }(x)\ge 0$이어야 합니다.

$g(x)=x^2+2ax-2a+1$이라 하면, 대칭축이 $x=-a$인 아래로 볼록한 이차함수입니다.

대칭축 $x=-a$가 주어진 범위 $x\ge 0$에 포함되는지 여부에 따라 최솟값을 가지는 위치가 달라지므로 경우를 나누어야 합니다.

i) 대칭축이 범위 안에 있을 때 ($-a\ge 0$, 즉 $a\le 0$)

$x\ge 0$에서 $g(x)$의 최솟값은 꼭짓점인 $g(-a)$입니다.

$g(-a)=a^2-2a^2-2a+1=-a^2-2a+1\ge 0$

$a^2+2a-1\le 0$

근의 공식을 이용하면 $-1-\sqrt{2}\le a\le -1+\sqrt{2}$입니다.

$a\le 0$ 조건과 공통 범위를 구하면 $-1-\sqrt{2}\le a\le 0$입니다.

ii) 대칭축이 범위 밖에 있을 때 ($-a<0$, 즉 $a>0$)

$x\ge 0$에서 $g(x)$는 증가하므로 최솟값은 경계값인 $g(0)$입니다.

$g(0)=-2a+1\ge 0⟹a\le \frac{1}{2}$

$a>0$ 조건과 공통 범위를 구하면 $0<a\le \frac{1}{2}$입니다.

두 경우를 합치면 $-1-\sqrt{2}\le a\le \frac{1}{2}$가 됩니다.

이 범위는 step2에서 구한 $a\le \frac{1}{2}$도 만족합니다.

step4. $a+b$의 최댓값과 최솟값 계산하기

$b=2a-1$이므로 $a+b=a+(2a-1)=3a-1$입니다.

$a$의 범위가 $-1-\sqrt{2}\le a\le \frac{1}{2}$이므로,

최댓값 $M=3\times \frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}$

최솟값 $m=3\times (-1-\sqrt{2})-1=-4-3\sqrt{2}$

따라서 $M-m=\frac{1}{2}-(-4-3\sqrt{2})=\frac{9}{2}+3\sqrt{2}$입니다.

step1. $b$를 $a$로 표현

$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}-x^2-2ax-b\hfill & (x<0)\hfill \\ x^2+2ax-b\hfill & (x>0)\hfill \end{array}$

--- $x=-1$에서 극솟값을 가지므로

$f^{\prime }(-1)=-1+2a-b=0⟹b=2a-1$

step2. $x<0$ 구간의 조건

$x<0$일 때, $f^{\prime }(x)=-x^2-2ax-2a+1=-(x+1)(x+2a-1)$

$x\le -1$에서 $f^{\prime }(x)\le 0⟹x+2a-1\le 0⟹a\le 1$

$-1\le x<0$에서 $f^{\prime }(x)\ge 0⟹x+2a-1\le 0⟹a\le \frac{1}{2}$

--- 공통 범위이므로

$\therefore a\le \frac{1}{2}$

step3. $x\ge 0$ 구간의 조건

$x\ge 0$일 때, $f^{\prime }(x)=x^2+2ax-2a+1\ge 0$

대칭축 $x=-a$

i) $-a\ge 0$ ($a\le 0$)일 때: 최솟값 $f^{\prime }(-a)=-a^2-2a+1\ge 0$

$⟹a^2+2a-1\le 0⟹-1-\sqrt{2}\le a\le 0$

ii) $-a<0$ ($a>0$)일 때: 최솟값 $f^{\prime }(0)=-2a+1\ge 0$

$⟹0<a\le \frac{1}{2}$

$\therefore -1-\sqrt{2}\le a\le \frac{1}{2}$

step4. $a+b$의 최대, 최소

$a+b=3a-1$

$M=3(\frac{1}{2})-1=\frac{1}{2}$

$m=3(-1-\sqrt{2})-1=-4-3\sqrt{2}$

$M-m=\frac{9}{2}+3\sqrt{2}$

$\therefore ③$