수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 첫 번째 조건식 정리하기

등비수열의 첫째항을 $a$, 공비를 $r$이라고 하면 일반항은 $a_n=a{r}^{n-1}$이에요.

모든 항이 양수라고 했으므로 $a>0$, $r>0$입니다.

첫 번째 조건식 $\frac{a_3{a}_8}{a_6}=12$에 일반항 공식을 대입해보자고요.

$a_3=a{r}^2$, $a_8=a{r}^7$, $a_6=a{r}^5$이므로,

$\frac{a{r}^2·a{r}^7}{a{r}^5}=\frac{a^2{r}^9}{a{r}^5}=a{r}^4$이 됩니다.

$a{r}^4$은 다름 아닌 제5항 $a_5$를 의미합니다.

따라서 $a_5=12$라는 것을 알 수 있어요.

step2. 두 번째 조건식에서 공비 구하기

두 번째 조건식은 $a_5+a_7=36$이에요.

step1에서 $a_5=12$임을 구했으므로, 이를 대입하면

$12+a_7=36$, 즉 $a_7=24$가 됩니다.

이제 $a_5$와 $a_7$의 관계를 생각해보죠.

$a_7=a_5·r^2$이므로, $24=12·r^2$에서 $r^2=2$가 됩니다.

여기서 $r=\sqrt{2}$라고 구해도 되지만, 우리가 구해야 할 항의 차수를 보면 굳이 무리수로 만들지 않고 $r^2=2$인 상태로 두는 것이 계산에 훨씬 유리해요.

step3. $a_{11}$의 값 계산하기

우리가 구해야 하는 값은 $a_{11}$이에요.

$a_{11}$을 우리가 알고 있는 $a_5$와 $r^2$을 이용하여 표현해볼게요.

$a_{11}=a{r}^{10}=(a{r}^4)·r^6=a_5·(r^2{)}^3$입니다.

여기에 $a_5=12$와 $r^2=2$를 대입하면,

$a_{11}=12·2^3=12·8=96$이 됩니다.

따라서 정답은 96입니다.

step1. 첫 번째 조건식 정리하기

$a_n=a{r}^{n-1}$

$\frac{a_3{a}_8}{a_6}=\frac{a{r}^2·a{r}^7}{a{r}^5}=a{r}^4=12$

--- $a{r}^4=a_5$이므로

$a_5=12$

step2. 두 번째 조건식에서 공비 구하기

$a_5+a_7=36$

$12+a_7=36⟹a_7=24$

--- $a_7=a_5{r}^2$이므로

$12r^2=24⟹r^2=2$

step3. $a_{11}$의 값 계산하기

$a_{11}=a{r}^{10}=a{r}^4·r^6=a_5·(r^2{)}^3$

$a_{11}=12·2^3=12·8=96$

$\therefore ⑤$