(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 8번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 도함수를 부정적분하여 원래 함수를 구한 뒤, $x = 1$ 을 대입하여 미지수 $f (1)$ 을 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $f^{'} (x)$ 를 부정적분하여 $f (x)$ 의 식을 세웁니다.

step2. $f (0) = 4$ 를 이용하여 적분상수를 구합니다.

step3. 완성된 $f (x)$ 식에 $x = 1$ 을 대입하여 $f (1)$ 의 값을 구합니다.

step4. $f (x)$ 를 완전히 결정한 후 $f (2)$ 를 계산합니다.

4. 풀이의 도구

- 다항함수의 부정적분 : $y = x^{n}$ ( $n$ 은 음이 아닌 정수)의 부정적분은 $\int x^{n} d x = \frac{1}{n + 1} x^{n + 1} + C$ ( $C$ 는 적분상수)입니다.

5. 구체적 풀이

f^{'} (x)

식에

f (1)

이 들어있어서 복잡해 보일 수 있어요. 하지만

f (1)

은

x

에 1을 대입했을 때 나오는 '어떤 숫자(상수)'일 뿐이에요. 그러니까

f (1)

을 그냥 숫자처럼 생각하고 평소처럼 적분하면 됩니다. 그 후에

x = 1

을 대입하면

f (1)

이 무엇인지 알아낼 수 있어요.

step1. $f^{'} (x)$ 를 부정적분하기

주어진 도함수 $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 2 f (1) x$ 를 $x$ 에 대해 부정적분해 볼게요. $f (1)$ 을 변수로 착각하여 적분하기 쉽지만, $f (1)$ 은 상수 취급해야 합니다. 따라서 적분하면 $f (x) = \int (6 x^{2} - 2 f (1) x) d x = 2 x^{3} - f (1) x^{2} + C$ 가 됩니다. 여기서 $C$ 는 적분상수예요.

step2. 적분상수 $C$ 구하기

문제에서 $f (0) = 4$ 라는 조건이 주어졌죠? 방금 구한 $f (x)$ 식에 $x = 0$ 을 대입해 봅시다. $f (0) = 2 (0)^{3} - f (1) (0)^{2} + C = C$ 가 되므로, $C = 4$ 임을 알 수 있어요. 이제 함수는 $f (x) = 2 x^{3} - f (1) x^{2} + 4$ 가 되었습니다.

step3. $f (1)$ 의 값 구하기

함수식에 $f (1)$ 이 포함되어 있을 때는, 양변에 $x = 1$ 을 대입하여 $f (1)$ 에 대한 방정식을 만들어 푸는 것이 핵심 아이디어입니다. $f (x) = 2 x^{3} - f (1) x^{2} + 4$ 에 $x = 1$ 을 대입하면, $f (1) = 2 (1)^{3} - f (1) (1)^{2} + 4$ 가 됩니다. 정리하면 $f (1) = 2 - f (1) + 4$ 이고, $f (1) = 6 - f (1)$ 이 되죠. $- f (1)$ 을 좌변으로 넘기면 $2 f (1) = 6$ 이므로, $f (1) = 3$ 이 됩니다.

step4. $f (2)$ 계산하기

$f (1) = 3$ 을 원래 식에 대입하면 함수 $f (x)$ 가 완벽하게 구해집니다. $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4$ 가 되죠. 이제 우리가 최종적으로 구해야 하는 $f (2)$ 의 값을 계산해 볼까요? $x = 2$ 를 대입하면 $f (2) = 2 (2)^{3} - 3 (2)^{2} + 4 = 16 - 12 + 4 = 8$ 이 됩니다. 따라서 정답은 8입니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. $f^{'} (x)$ 를 부정적분하여 $f (x)$ 의 식 세우기

$f (x) = \int (6 x^{2} - 2 f (1) x) d x = 2 x^{3} - f (1) x^{2} + C$

step2. $f (0) = 4$ 를 이용하여 적분상수 구하기

$f (0) = C = 4$ --- $f (0) = 4$ 이므로

$∴ f (x) = 2 x^{3} - f (1) x^{2} + 4$

step3. $x = 1$ 을 대입하여 $f (1)$ 구하기

$f (1) = 2 - f (1) + 4$ --- 양변에 $x = 1$ 대입

$2 f (1) = 6 ⟹ f (1) = 3$

step4. $f (2)$ 계산하기

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 4$

$f (2) = 2 (8) - 3 (4) + 4 = 16 - 12 + 4 = 8$

$∴ 8$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

$f^{'} (x)$ 식 안에 $f (1)$ 이라는 상수가 포함되어 있어서, 이를 어떻게 처리해야 할지 당황할 수 있습니다.
부정적분을 한 후 $f (1)$ 을 구하기 위해 다시 $x = 1$ 을 대입해야 한다는 발상을 떠올리지 못할 수 있습니다.

🔑 돌파구

$f (1)$ 은 미지수이긴 하지만 결국 '상수'라는 점을 인식하고, 일반적인 계수처럼 취급하여 적분합니다.
적분하여 얻은 $f (x)$ 식에 $x = 1$ 을 대입하면 $f (1)$ 에 대한 일차방정식이 만들어지므로 이를 풀어 $f (1)$ 을 구합니다.
(팁: 함수식 안에 $f (a)$ 꼴이 포함되어 있다면, 그것을 상수로 취급하고 나중에 $x = a$ 를 대입하여 그 값을 구하는 패턴을 기억하세요.)

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 8번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학2 · 부정적분 / 다항함수의 미분과 적분
난이도	중하

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구