(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]

12. 첫째항이 자연수인 수열

{a_{n}}

이 모든 자연수

n

에 대하여

a_{n + 1} = {\begin{matrix} a_{n} + 1 & (a_{n} 이 홀수인 경우) \\ \frac{1}{2} a_{n} & (a_{n} 이 짝수인 경우) \end{matrix}

를 만족시킬 때,

a_{2} + a_{4} = 40

이 되도록 하는 모든

a_{1}

의 값의 합은? [4점]
① 172 ② 175 ③ 178 ④ 181 ⑤ 184

이 문제는 수열의 귀납적 정의를 이해하고, 짝수와 홀수 조건에 따라 경우를 나누어 역추적하여 첫째항을 구할 수 있는지를 묻는 문제입니다.

a_{1} \in ℕ

a_{n + 1} = {\begin{matrix} a_{n} + 1 & (a_{n} 이 홀수인 경우) \\ \frac{1}{2} a_{n} & (a_{n} 이 짝수인 경우) \end{matrix}

a_{2} + a_{4} = 40

이 문제는 조건이 주어진 $a_{2}$ 를 기준으로 삼아 $a_{4}$ 를 표현한 뒤, 가능한 $a_{2}$ 의 값을 찾고 $a_{1}$ 을 역추적하는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. $a_{2}$ 가 짝수일 때와 홀수일 때로 나누어 $a_{4}$ 를 $a_{2}$ 에 대한 식으로 나타냅니다.

step2. $a_{2} + a_{4} = 40$ 을 만족하는 $a_{2}$ 의 값을 구합니다.

step3. 구한 $a_{2}$ 를 바탕으로 역추적하여 가능한 $a_{1}$ 의 값을 모두 찾고 합을 구합니다.

- 수열의 귀납적 정의 : 이전 항의 값을 통해 다음 항의 값을 결정하는 규칙입니다. 이 문제에서는 이전 항이 홀수인지 짝수인지에 따라 다음 항을 구하는 공식이 달라집니다.

- 경우의 수 나누기 (수형도) : 조건에 따라 식의 형태가 달라지므로, 가능한 모든 상황을 빠짐없이 나누어 계산하는 논리적 접근법입니다.

a_{1}

부터 시작하면

a_{2}, a_{3}, a_{4}

로 갈수록 경우의 수가

2 \times 2 \times 2 = 8

가지로 늘어나서 너무 복잡해져요. 문제에서

a_{2} + a_{4} = 40

이라는 힌트를 주었으니,

a_{2}

를 미지수(예:

k

)로 두고

a_{4}

를

k

로 표현해보는 것이 핵심이에요!

step1. $a_{2}$ 를 기준으로 $a_{4}$ 표현하기

계산을 편하게 하기 위해 $a_{2} = k$ 라고 해볼게요. $k$ 는 자연수입니다.

$k$ 가 홀수인지 짝수인지에 따라 $a_{3}$ 를 구하는 식이 달라지므로 경우를 나누어야 해요.

(1) $k$ 가 홀수인 경우:

$a_{3} = k + 1$ 이 됩니다. 홀수에 1을 더했으니 $a_{3}$ 는 무조건 짝수가 되겠죠?

$a_{3}$ 가 짝수이므로, $a_{4} = \frac{1}{2} a_{3} = \frac{1}{2} (k + 1)$ 이 됩니다.

(2) $k$ 가 짝수인 경우:

$a_{3} = \frac{1}{2} k$ 가 됩니다. 그런데 여기서 $\frac{1}{2} k$ 가 홀수인지 짝수인지 아직 알 수 없어요. 그래서 다시 두 가지로 나누어 줍니다.

- $a_{3}$ 가 홀수인 경우: $a_{4} = a_{3} + 1 = \frac{1}{2} k + 1$

- $a_{3}$ 가 짝수인 경우: $a_{4} = \frac{1}{2} a_{3} = \frac{1}{4} k$

step2. $a_{2} + a_{4} = 40$ 을 이용하여 $a_{2}$ 값 구하기

앞서 나눈 세 가지 경우에 대해 $a_{2} + a_{4} = 40$ 방정식을 풀어볼게요.

(1) $k$ 가 홀수일 때:

$k + \frac{1}{2} (k + 1) = 40$

양변에 2를 곱하면 $2 k + k + 1 = 80 ⟹ 3 k = 79$ 가 됩니다.

$k = \frac{79}{3}$ 인데, 이는 자연수가 아니므로 이 경우는 탈락입니다.

(2) $k$ 가 짝수이고 $a_{3}$ 가 홀수일 때:

$k + (\frac{1}{2} k + 1) = 40$

$\frac{3}{2} k = 39 ⟹ k = 26$ 이 됩니다.

$k = 26$ 이면 $a_{3} = \frac{1}{2} \times 26 = 13$ 이 되죠? 13은 홀수이므로 우리가 가정한 조건에 완벽히 맞아요. 따라서 $a_{2} = 26$ 은 정답 후보입니다.

(3) $k$ 가 짝수이고 $a_{3}$ 가 짝수일 때:

$k + \frac{1}{4} k = 40$

$\frac{5}{4} k = 40 ⟹ k = 32$ 가 됩니다.

$k = 32$ 이면 $a_{3} = \frac{1}{2} \times 32 = 16$ 이 됩니다. 16은 짝수이므로 역시 조건에 맞아요. 따라서 $a_{2} = 32$ 도 정답 후보입니다.

step3. $a_{1}$ 역추적하여 합 구하기

이제 $a_{2}$ 가 26, 32일 때 각각 $a_{1}$ 을 구해봅시다.

구한 $a_{1}$ 이 처음에 가정한 홀수/짝수 조건에 맞는지 꼭 확인해야 해요!

먼저 $a_{2} = 26$ 인 경우를 볼게요.

- $a_{1}$ 이 홀수라면: $a_{1} + 1 = 26 ⟹ a_{1} = 25$ (25는 홀수가 맞으므로 통과!)

$-$ a₁ $이 짝 수 라 면 : \frac{1}{2} a_{1} = 26 ⟹ a_{1} = 52$ (52는 짝수가 맞으므로 통과!)

다음으로 $a_{2} = 32$ 인 경우를 볼게요.

- $a_{1}$ 이 홀수라면: $a_{1} + 1 = 32 ⟹ a_{1} = 31$ (31은 홀수가 맞으므로 통과!)

$-$ a₁ $이 짝 수 라 면 : \frac{1}{2} a_{1} = 32 ⟹ a_{1} = 64$ (64는 짝수가 맞으므로 통과!)

따라서 가능한 $a_{1}$ 의 값은 25, 52, 31, 64입니다.

모든 $a_{1}$ 의 값의 합은 $25 + 52 + 31 + 64 = 172$ 가 됩니다.

step1. $a_{2}$ 를 기준으로 $a_{4}$ 표현

$a_{2} = k$ 라 하자.

(i) $k$ 가 홀수: $a_{3} = k + 1$ (짝수) $⟹ a_{4} = \frac{1}{2} (k + 1)$

(ii) $k$ 가 짝수: $a_{3} = \frac{1}{2} k$

--- $a_{3}$ 의 홀짝에 따라 분류

- $a_{3}$ 가 홀수: $a_{4} = \frac{1}{2} k + 1$

- $a_{3}$ 가 짝수: $a_{4} = \frac{1}{4} k$

step2. $a_{2} + a_{4} = 40$ 풀이

--- i) $k + \frac{1}{2} (k + 1) = 40 ⟹ 3 k = 79$ (자연수 아님, 모순

(ii-1) $k + \frac{1}{2} k + 1 = 40 ⟹ \frac{3}{2} k = 39 ⟹ k = 26$

--- $a_{3} = 13$ (홀수 조건 만족)

(ii-2) $k + \frac{1}{4} k = 40 ⟹ \frac{5}{4} k = 40 ⟹ k = 32$

--- $a_{3} = 16$ (짝수 조건 만족)

$∴ a_{2} = 26$ 또는 $32$

step3. $a_{1}$ 역추적

$a_{2} = 26$ 일 때:

$a_{1} + 1 = 26 ⟹ a_{1} = 25$ --- 홀수 O

$\frac{1}{2} a_{1} = 26 ⟹ a_{1} = 52$ --- 짝수 O

$a_{2} = 32$ 일 때:

$a_{1} + 1 = 32 ⟹ a_{1} = 31$ --- 홀수 O

$\frac{1}{2} a_{1} = 32 ⟹ a_{1} = 64$ --- 짝수 O

$∴ \sum a_{1} = 25 + 52 + 31 + 64 = 172$

🔒 막힌 이유

$a_{1}$ 부터 시작해서 $a_{4}$ 까지 모든 경우를 나누려고 하면 가지치기가 너무 많아져서 계산이 복잡해지고 실수가 발생하기 쉽습니다.
$a_{2}$ 를 구한 후, $a_{1}$ 을 역추적할 때 구한 값이 처음에 가정한 홀수/짝수 조건에 맞는지 다시 확인하지 않아 오답이 나올 수 있습니다.

🔑 돌파구

주어진 조건식 $a_{2} + a_{4} = 40$ 에 주목하여, 기준을 $a_{1}$ 이 아닌 $a_{2}$ 로 잡고 $a_{3}, a_{4}$ 를 $a_{2}$ 에 대한 식으로 표현해 보세요.
구한 $a_{1}$ 의 값이 처음에 가정한 홀수/짝수 조건에 맞는지 반드시 검증하는 습관을 들이세요.
(팁: 수열의 역추적 문제는 조건이 주어진 항을 기준으로 앞뒤로 뻗어나가는 것이 효율적입니다.)

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅰ · 수열 / 수열의 귀납적 정의 / 경우의 수
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구