수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $f(3)$의 값 구하기

만약 $f(3)\ne 0$이라면, $x=3$ 근방에서 $g(x)=\frac{f(x+3)\{f(x)+1\}}{f(x)}$가 됩니다.

$f(x)$는 다항함수이므로 연속함수이고, 분모가 0이 아니므로 $g(x)$도 $x=3$에서 연속이 됩니다.

그러면 ${lim}_{x\to 3}g(x)=g(3)$이 성립해야 하는데, 이는 주어진 조건 ${lim}_{x\to 3}g(x)=g(3)-1$과 모순입니다.

따라서 $g(x)$는 $x=3$에서 불연속이어야 하고, 이를 위해서는 분모인 $f(3)=0$이어야 합니다.

step2. ${lim}_{x\to 3}g(x)$의 값 구하기

$f(3)=0$이므로, $g(x)$의 정의에 따라 $g(3)=3$입니다.

주어진 조건식에 대입하면,

${lim}_{x\to 3}g(x)=g(3)-1=3-1=2$가 됩니다.

step3. $f(6)$의 값 구하기

이제 극한식을 써보면,

${lim}_{x\to 3}\frac{f(x+3)\{f(x)+1\}}{f(x)}=2$ 입니다.

$x\to 3$일 때 분모 $f(x)\to f(3)=0$이므로, 극한값이 존재하려면 분자도 0으로 가야 합니다.

즉, ${lim}_{x\to 3}f(x+3)\{f(x)+1\}=0$ 이어야 합니다.

$x\to 3$일 때 $f(x)\to 0$이므로 $f(x)+1\to 1$입니다.

따라서 $f(3+3)\times 1=0$, 즉 $f(6)=0$이 되어야 합니다.

여기서 $f(x)+1$이 0이 될 수 있다고 착각하기 쉬운데, $f(3)=0$이므로 $f(3)+1=1$임을 놓치지 마세요.

step4. $f(x)$ 식 완성하기

최고차항의 계수가 1인 삼차함수 $f(x)$가 $f(3)=0$, $f(6)=0$을 만족하므로,

$f(x)=(x-3)(x-6)(x-a)$ 로 둘 수 있습니다.

이를 극한식에 대입해 봅시다.

$f(x+3)=(x+3-3)(x+3-6)(x+3-a)=x(x-3)(x+3-a)$ 이므로,

${lim}_{x\to 3}\frac{x(x-3)(x+3-a)\{f(x)+1\}}{(x-3)(x-6)(x-a)}=2$

분모와 분자에서 $(x-3)$을 약분하면,

${lim}_{x\to 3}\frac{x(x+3-a)\{f(x)+1\}}{(x-6)(x-a)}=2$

이제 $x=3$을 대입하면,

$\frac{3(6-a)\{f(3)+1\}}{(-3)(3-a)}=2$

$f(3)=0$이므로 $f(3)+1=1$입니다.

$\frac{3(6-a)}{-3(3-a)}=2$

$\frac{6-a}{-(3-a)}=2$

$\frac{6-a}{a-3}=2$

$6-a=2(a-3)$

$6-a=2a-6$

$3a=12$

$a=4$

따라서 $f(x)=(x-3)(x-4)(x-6)$ 입니다.

step5. $g(5)$의 값 계산하기

구하고자 하는 값은 $g(5)$입니다.

먼저 $f(5)$를 확인해 보면,

$f(5)=(5-3)(5-4)(5-6)=2\times 1\times (-1)=-2$ 입니다.

$f(5)\ne 0$이므로 $g(x)$의 첫 번째 식을 사용합니다.

$g(5)=\frac{f(5+3)\{f(5)+1\}}{f(5)}=\frac{f(8)\{-2+1\}}{-2}=\frac{f(8)\times (-1)}{-2}=\frac{f(8)}{2}$

이제 $f(8)$을 계산합니다.

$f(8)=(8-3)(8-4)(8-6)=5\times 4\times 2=40$

따라서 $g(5)=\frac{40}{2}=20$ 입니다.

step1. $f(3)$의 값 구하기

${lim}_{x\to 3}g(x)\ne g(3)$ 이므로 $g(x)$는 $x=3$에서 불연속

--- 분모가 0이 되어야 하므로

$f(3)=0$

step2. ${lim}_{x\to 3}g(x)$의 값 구하기

$f(3)=0$ 이므로 $g(3)=3$

${lim}_{x\to 3}g(x)=3-1=2$

step3. $f(6)$의 값 구하기

${lim}_{x\to 3}\frac{f(x+3)\{f(x)+1\}}{f(x)}=2$

--- 분모 $\to 0$ 이므로 분자 $\to 0$

$f(6)\{f(3)+1\}=0$

$f(6)\times 1=0⟹f(6)=0$

step4. $f(x)$ 식 완성하기

$f(x)=(x-3)(x-6)(x-a)$

${lim}_{x\to 3}\frac{x(x-3)(x+3-a)\{f(x)+1\}}{(x-3)(x-6)(x-a)}=2$

$\frac{3(6-a)\times 1}{-3(3-a)}=2$

$\frac{6-a}{a-3}=2⟹6-a=2a-6⟹3a=12⟹a=4$

$f(x)=(x-3)(x-4)(x-6)$

step5. $g(5)$의 값 계산하기

$f(5)=2\times 1\times (-1)=-2$

$f(8)=5\times 4\times 2=40$

$g(5)=\frac{f(8)\{f(5)+1\}}{f(5)}=\frac{40\times (-1)}{-2}=20$

$\therefore 20$