(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이 문제는 접선의 기울기를 통해 함수 $f (x)$ 의 식을 인수정리로 간단히 세우고, 나머지 조건을 대입하여 미지수를 찾는 방법으로 풀이합니다.

구체적 풀이 순서는 다음과 같아요.

step1. 점 $(2, 3)$ 에서의 접선 조건을 분석하여 $f (2)$ 와 $f^{'} (2)$ 의 값을 구합니다.

step2. 구한 조건을 바탕으로 인수정리를 활용하여 $f (x)$ 의 식을 세웁니다.

step3. 점 $(- 2, f (- 2))$ 에서의 접선 조건을 이용하여 미지수를 구합니다.

step4. 완성된 $f (x)$ 식에 $x = 0$ 을 대입하여 정답을 도출합니다.

4. 풀이의 도구

- 접선의 방정식 : 함수 $y = f (x)$ 위의 점 $(a, f (a))$ 에서의 접선의 방정식은 $y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)$ 입니다.

- 다항함수의 식 세우기 (인수정리 활용) : 다항함수 $f (x)$ 에 대하여 $f (a) = b$ 이고 $f^{'} (a) = 0$ 이면, $f (x)$ 는 $(x - a)^{2}$ 을 인수로 가집니다. 즉, $f (x) = (x - a)^{2} Q (x) + b$ 꼴로 나타낼 수 있습니다.

5. 구체적 풀이

문제에서 '접선이 어떤 점을 지난다'는 조건이 두 개나 주어졌네요. 특히 점

(2, 3)

에서의 접선이

(1, 3)

을 지난다는 것에 주목해 볼까요? 두 점의

y

좌표가

3

으로 똑같아요! 이는 접선이

x

축과 평행하다는 뜻이고, 여기서

f^{'} (2) = 0

이라는 엄청난 힌트를 얻을 수 있답니다. 이 힌트를 쓰면 복잡한 삼차함수 식을 아주 간단하게 세울 수 있어요.

step1. 점 $(2, 3)$ 에서의 접선 조건 분석

곡선 위의 점 $(2, 3)$ 에서의 접선이 점 $(1, 3)$ 을 지난다고 했어요. 이 접선은 두 점 $(2, 3)$ 과 $(1, 3)$ 을 지나는 직선이므로, 기울기를 구해보면 $\frac{3 - 3}{2 - 1} = 0$ 이 됩니다.

접선의 기울기가 $0$ 이라는 것은 $f^{'} (2) = 0$ 임을 의미합니다.

또한 점 $(2, 3)$ 은 곡선 위의 점이므로 $f (2) = 3$ 이라는 것도 알 수 있죠.

step2. $f (x)$ 의 식 세우기

$f (2) = 3$ 이고 $f^{'} (2) = 0$ 이라는 두 가지 조건을 얻었어요.

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 로 두고 풀면 미지수가 3개나 되어 계산이 너무 복잡해지니 피해야 해요.

대신, $f (x)$ 가 최고차항의 계수가 $1$ 인 삼차함수이므로, 인수정리를 활용하면 식을 아주 예쁘게 세울 수 있어요. $f (x) - 3$ 은 $(x - 2)^{2}$ 을 인수로 가져야 하므로, 나머지 한 근을 $k$ 라고 두면 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.

$f (x) = (x - 2)^{2} (x - k) + 3$

step3. 점 $(- 2, f (- 2))$ 에서의 접선 조건 적용

이제 미지수 $k$ 를 찾기 위해 남은 조건을 사용할 차례예요. 점 $(- 2, f (- 2))$ 에서의 접선이 점 $(1, 3)$ 을 지난다고 했죠.

먼저 점 $(- 2, f (- 2))$ 에서의 접선의 방정식을 세워볼게요.

$y - f (- 2) = f^{'} (- 2) (x - (- 2))$

이 접선이 $(1, 3)$ 을 지나므로 $x = 1, y = 3$ 을 대입하면,

$3 - f (- 2) = f^{'} (- 2) (1 + 2)$

$3 - f (- 2) = 3 f^{'} (- 2)$ 가 됩니다.

이제 우리가 세워둔 $f (x) = (x - 2)^{2} (x - k) + 3$ 식을 이용해 $f (- 2)$ 와 $f^{'} (- 2)$ 를 $k$ 에 대한 식으로 나타내어 대입해 볼게요.

$f (- 2) = (- 2 - 2)^{2} (- 2 - k) + 3 = 16 (- 2 - k) + 3 = - 32 - 16 k + 3 = - 16 k - 29$

$f^{'} (x)$ 를 구하기 위해 곱의 미분법을 쓰면, $f^{'} (x) = 2 (x - 2) (x - k) + (x - 2)^{2} \cdot 1 = (x - 2) (2 x - 2 k + x - 2) = (x - 2) (3 x - 2 k - 2)$

$f^{'} (- 2) = (- 2 - 2) (3 (- 2) - 2 k - 2) = - 4 (- 8 - 2 k) = 32 + 8 k$

이 값들을 아까 만든 식 $3 - f (- 2) = 3 f^{'} (- 2)$ 에 대입합니다.

$3 - (- 16 k - 29) = 3 (32 + 8 k)$

$16 k + 32 = 24 k + 96$

$16 k - 24 k = 96 - 32$

$- 8 k = 64$

따라서 $k = - 8$ 이 됩니다.

step4. $f (0)$ 의 값 계산

$k$ 값을 구했으니 $f (x)$ 의 식이 완벽하게 완성되었어요!

$f (x) = (x - 2)^{2} (x - (- 8)) + 3 = (x - 2)^{2} (x + 8) + 3$

이제 문제에서 구하라고 한 $f (0)$ 의 값을 계산해 볼까요?

$f (0) = (0 - 2)^{2} (0 + 8) + 3 = 4 \times 8 + 3 = 32 + 3 = 35$

정답은 35가 됩니다.

⚡ 실전용 풀이

step1. 점 $(2, 3)$ 에서의 접선 조건 분석

접선이 $(2, 3), (1, 3)$ 을 지나므로 기울기 $m = \frac{3 - 3}{2 - 1} = 0$

$∴ f (2) = 3, f^{'} (2) = 0$

step2. $f (x)$ 의 식 세우기

$f (x) = (x - 2)^{2} (x - k) + 3$ --- $f (2) = 3, f^{'} (2) = 0$ 을 이용

step3. 점 $(- 2, f (- 2))$ 에서의 접선 조건 적용

$x = - 2$ 에서의 접선: $y - f (- 2) = f^{'} (- 2) (x + 2)$

$(1, 3)$ 대입: $3 - f (- 2) = 3 f^{'} (- 2)$

$f (- 2) = 16 (- 2 - k) + 3 = - 16 k - 29$

$f^{'} (x) = 2 (x - 2) (x - k) + (x - 2)^{2}$

$f^{'} (- 2) = 2 (- 4) (- 2 - k) + 16 = 8 k + 32$

대입: $3 - (- 16 k - 29) = 3 (8 k + 32)$

$16 k + 32 = 24 k + 96$

$8 k = - 64 \Rightarrow k = - 8$

step4. $f (0)$ 의 값 계산

$f (x) = (x - 2)^{2} (x + 8) + 3$

$f (0) = 4 \times 8 + 3 = 35$

$∴ 35$

🎯 막힌 이유와 돌파구

🔒 막힌 이유

점 $(2, 3)$ 에서의 접선이 $(1, 3)$ 을 지난다는 조건에서 접선의 기울기가 $0$ 임을 파악하지 못해 식 세우기가 복잡해질 수 있습니다.
$f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ 로 두고 풀면 미지수가 너무 많아 연산 과정에서 실수가 발생하기 쉽습니다.

🔑 돌파구

두 점 $(2, 3)$ 과 $(1, 3)$ 의 $y$ 좌표가 같으므로 접선의 기울기가 $0$ 임을 파악하세요. 즉, $f (2) = 3$ 이고 $f^{'} (2) = 0$ 입니다.
$f (2) = 3$ , $f^{'} (2) = 0$ 이라는 조건을 보면 $f (x) - 3$ 이 $(x - 2)^{2}$ 을 인수로 가진다는 성질을 이용하여 식을 $f (x) = (x - 2)^{2} (x - k) + 3$ 으로 세우는 것이 핵심입니다.
접점의 좌표와 기울기가 주어지면 인수정리를 활용해 식을 세우는 연습을 해보세요.

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 10번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학Ⅱ · 미분 / 접선의 방정식 / 다항함수의 추론
난이도	중상

수학여정 - 문제 분석 리포트

🔍 이해용 풀이

1. 문제의 요지

2. 주어진 조건

3. 풀이의 순서

4. 풀이의 도구

5. 구체적 풀이

⚡ 실전용 풀이

🎯 막힌 이유와 돌파구