수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 3개씩 묶어서 규칙 찾기

먼저 조건 (가)를 이용해서 수열을 3개씩 묶어볼게요. $m$번째 묶음은 $a_{3m-2},a_{3m-1},a_{3m}$이 됩니다.

$n=3m-2$일 때 (묶음의 첫 번째에서 두 번째로 넘어갈 때):

$a_{3m-1}=(-1{)}^{3m-2}{a}_{3m-2}$

$n=3m-1$일 때 (묶음의 두 번째에서 세 번째로 넘어갈 때):

$a_{3m}=(-1{)}^{3m-1}{a}_{3m-1}$

이 두 식을 연결해 볼까요?

$a_{3m}=(-1{)}^{3m-1}\times (-1{)}^{3m-2}{a}_{3m-2}=(-1{)}^{6m-3}{a}_{3m-2}$

여기서 지수 $6m-3$은 항상 홀수이므로, $(-1{)}^{6m-3}=-1$이 됩니다.

따라서 모든 자연수 $m$에 대하여 $a_{3m}=-a_{3m-2}$라는 아주 중요한 규칙을 발견할 수 있어요!

이제 각 묶음의 합을 구해볼게요. $m$이 홀수일 때와 짝수일 때 부호가 달라지니 나누어 생각해야 해요.

- $m$이 홀수(1, 3, 5...)일 때: $3m-2$는 홀수이므로 $a_{3m-1}=-a_{3m-2}$가 됩니다.

묶음의 합 = $a_{3m-2}-a_{3m-2}-a_{3m-2}=-a_{3m-2}$

- $m$이 짝수(2, 4, 6...)일 때: $3m-2$는 짝수이므로 $a_{3m-1}=a_{3m-2}$가 됩니다.

묶음의 합 = $a_{3m-2}+a_{3m-2}-a_{3m-2}=a_{3m-2}$

step2. 조건 (나)를 이용해 대표항 점화식 만들기

이제 조건 (나)를 살펴볼게요. $n$이 3의 배수일 때, 즉 $n=3m$일 때의 조건이에요.

$a_{3m+3}=-a_{3m}-3m$

우리가 step1에서 찾은 보물 같은 규칙 $a_{3m}=-a_{3m-2}$를 여기에 대입해 볼까요?

그리고 $a_{3m+3}$은 다음 묶음의 세 번째 항이므로, 같은 규칙에 의해 $a_{3m+3}=-a_{3m+1}$이 됩니다.

이것들을 모두 대입하면:

$-a_{3m+1}=-(-a_{3m-2})-3m$

$-a_{3m+1}=a_{3m-2}-3m$

양변에 -1을 곱하면,

$a_{3m+1}=-a_{3m-2}+3m$

이 과정에서 부호를 헷갈리기 쉬우니 천천히 대입해야 해요. 이제 각 묶음의 첫 번째 항들 사이의 관계식이 완성되었어요!

step3. $a_{19}$의 값 구하기

문제에서 주어진 힌트 $a_{20}+a_{21}=0$을 사용할 차례예요.

$a_{19},a_{20},a_{21}$은 7번째 묶음($m=7$)에 해당해요. $3m-2=19$이므로 홀수네요.

조건 (가)에 따라 계산해 보면:

$a_{20}=(-1{)}^{19}{a}_{19}=-a_{19}$

$a_{21}=(-1{)}^{20}{a}_{20}=a_{20}=-a_{19}$

두 항을 더하면:

$a_{20}+a_{21}=-a_{19}-a_{19}=-2a_{19}=0$

따라서 $a_{19}=0$이라는 것을 알 수 있습니다.

step4. 역추적 및 최종 합 계산하기

이제 step2에서 만든 점화식 $a_{3m+1}=-a_{3m-2}+3m$을 거꾸로 추적해 볼게요.

식을 $a_{3m-2}=-a_{3m+1}+3m$으로 정리하면 계산이 편해요.

$m=6$일 때: $a_{16}=-a_{19}+18=0+18=18$

$m=5$일 때: $a_{13}=-a_{16}+15=-18+15=-3$

$m=4$일 때: $a_{10}=-a_{13}+12=-(-3)+12=15$

$m=3$일 때: $a_7=-a_{10}+9=-15+9=-6$

$m=2$일 때: $a_4=-a_7+6=-(-6)+6=12$

$m=1$일 때: $a_1=-a_4+3=-12+3=-9$

마지막으로 우리가 구해야 하는 ${\sum }_{k=1}^{18}{a}_k$는 1번째부터 6번째 묶음까지의 합이에요.

step1에서 구한 묶음의 합 공식을 적용해 볼까요?

(홀수 번째 묶음은 $-a_{3m-2}$, 짝수 번째 묶음은 $a_{3m-2}$)

총합 = $(-a_1)+(a_4)+(-a_7)+(a_{10})+(-a_{13})+(a_{16})$

$=-(-9)+12-(-6)+15-(-3)+18$

$=9+12+6+15+3+18=63$

정답은 63이 됩니다!

step1. 3개씩 묶어서 규칙 찾기

$a_{3m}=(-1{)}^{3m-1}{a}_{3m-1}=(-1{)}^{3m-1}(-1{)}^{3m-2}{a}_{3m-2}=-a_{3m-2}$

$m$번째 묶음의 합 $S_m=a_{3m-2}+a_{3m-1}+a_{3m}$

--- $m$이 홀수면 $S_m=-a_{3m-2}$, 짝수면 $S_m=a_{3m-2}$

step2. 조건 (나)를 이용해 대표항 점화식 만들기

$a_{3m+3}=-a_{3m}-3m$

$-a_{3m+1}=a_{3m-2}-3m⟹a_{3m+1}=-a_{3m-2}+3m$

step3. $a_{19}$의 값 구하기

$a_{20}=-a_{19},a_{21}=a_{20}=-a_{19}$

$a_{20}+a_{21}=-2a_{19}=0⟹a_{19}=0$

step4. 역추적 및 최종 합 계산하기

$a_{3m-2}=-a_{3m+1}+3m$

$a_{16}=18$

$a_{13}=-18+15=-3$

$a_{10}=3+12=15$

$a_7=-15+9=-6$

$a_4=6+6=12$

$a_1=-12+3=-9$

${\sum }_{k=1}^{18}{a}_k=-a_1+a_4-a_7+a_{10}-a_{13}+a_{16}$

$=9+12+6+15+3+18=63$

$\therefore 63$