2023년 9월 학력평가 수학 24번 풀이 해설 [이해용/실전용]

함수의 최댓값과 최솟값을 구하라는 문제를 보면 가장 먼저 '이 함수가 증가하는지, 감소하는지'를 알아내야 해요. 로그함수에서는 밑이 그 열쇠를 쥐고 있답니다. 밑이 3이니까 1보다 크죠? 아, 그럼 이 함수는

x

가 커질수록

y

도 계속 올라가기만 하는 증가함수구나! 하고 눈치채는 것이 첫걸음이에요.

step1. 함수의 증가/감소 성질 파악하기

주어진 함수 $y = 6 \log_{3} (x + 2)$ 를 살펴볼게요.

이 로그함수의 밑은 $3$ 입니다.

밑이 1보다 크기 때문에( $3 > 1$ ), 이 함수는 $x$ 의 값이 커질수록 전체 함숫값도 커지는 '증가함수'가 됩니다.

따라서 주어진 $x$ 의 범위 $1 \leq x \leq 25$ 에서,

$x$ 가 가장 작은 값일 때 함수도 최솟값을 가지고, $x$ 가 가장 큰 값일 때 함수도 최댓값을 가진다는 것을 알 수 있어요.

step2. 최댓값 M과 최솟값 m 계산하기

이제 양 끝값을 대입해서 직접 값을 구해볼게요.

먼저 최솟값 $m$ 을 구해봅시다.

$x$ 가 가장 작은 값인 $1$ 일 때 최솟값을 가지므로,

$m = 6 \log_{3} (1 + 2) = 6 \log_{3} 3$ 이 됩니다.

$\log_{3} 3 = 1$ 이므로, $m = 6 \times 1 = 6$ 이에요.

다음으로 최댓값 $M$ 을 구해봅시다.

$x$ 가 가장 큰 값인 $25$ 일 때 최댓값을 가지므로,

$M = 6 \log_{3} (25 + 2) = 6 \log_{3} 27$ 이 됩니다.

여기서 $27$ 을 밑인 $3$ 의 거듭제곱으로 바꾸어 계산하는 것을 잊지 마세요.

$27 = 3^{3}$ 이므로, $\log_{3} 27 = \log_{3} (3^{3}) = 3$ 이 됩니다.

따라서 $M = 6 \times 3 = 18$ 이에요.

step3. M + m 계산하기

앞선 단계에서 최댓값 $M = 18$ , 최솟값 $m = 6$ 을 구했어요.

문제에서 요구하는 것은 이 둘의 합이므로,

$M + m = 18 + 6 = 24$ 가 됩니다.

아주 잘 따라오셨어요!

step1. 함수의 증가/감소 성질 파악하기

$y = 6 \log_{3} (x + 2)$ 에서 밑이 $3 > 1$ 이므로 증가함수

step2. 최댓값 M과 최솟값 m 계산하기

$x = 1$ 일 때 최솟값 $m = 6 \log_{3} (1 + 2) = 6 \log_{3} 3 = 6$

$x = 25$ 일 때 최댓값 $M = 6 \log_{3} (25 + 2) = 6 \log_{3} 27 = 6 \times 3 = 18$

step3. M + m 계산하기

$M + m = 18 + 6 = 24$

$∴ 24$

수학여정 - 문제 분석 리포트