수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 이차방정식을 풀어 $a_k$의 후보 구하기

먼저 조건 (가)에 주어진 이차방정식을 풀어볼게요. 문자가 있어서 복잡해 보이지만, 상수항을 잘 살펴보면 힌트가 숨어있어요.

상수항이 $(8-k)(k-5)$로 인수분해되어 있죠? 이 두 인수를 더해보면 $(8-k)+(k-5)=3$이 됩니다. 일차항의 계수인 3과 정확히 일치하네요!

따라서 이 이차방정식은 $(x+8-k)(x+k-5)=0$으로 깔끔하게 인수분해됩니다.

방정식의 해는 $x=k-8$ 또는 $x=5-k$가 되므로, 수열의 각 항 $a_k$는 이 두 값 중 하나를 선택해야 합니다.

step2. $k=1$부터 $11$까지 $a_k$의 후보 나열 및 특징 파악

이제 $k=1$부터 $11$까지 $a_k$가 가질 수 있는 두 가지 후보를 모두 나열해 볼게요. (조건 (나)에서 $n$이 10까지이므로 $a_{11}$까지 필요해요)

$k=1$ : $-7$ 또는 $4$

$k=2$ : $-6$ 또는 $3$

$k=3$ : $-5$ 또는 $2$

$k=4$ : $-4$ 또는 $1$

$k=5$ : $-3$ 또는 $0$

$k=6$ : $-2$ 또는 $-1$

$k=7$ : $-1$ 또는 $-2$

$k=8$ : $0$ 또는 $-3$

$k=9$ : $1$ 또는 $-4$

$k=10$ : $2$ 또는 $-5$

$k=11$ : $3$ 또는 $-6$

여기서 $k=6$과 $k=7$일 때는 두 후보가 모두 음수라는 점을 꼭 기억해 두세요. 이 부분이 나중에 중요한 기준이 됩니다.

step3. 합을 최대로 만드는 초기 조합 선택 및 조건 (나) 확인

우리의 목표는 ${\sum }_{n=1}^{10}{a}_n$을 최대로 만드는 거예요. 합이 최대가 되려면 당연히 각 $k$마다 더 큰 값을 고르는 것이 유리하겠죠?

일단 무조건 큰 값들만 선택해서 수열을 만들어 봅시다.

선택된 수열: $4,3,2,1,0,-1,-1,0,1,2,3$

이제 이 수열이 조건 (나)인 '$a_n\times a_{n+1}\le 0$을 만족하는 $n$이 2개'라는 조건을 지키는지 확인해 볼게요.

이웃한 두 항의 곱이 0 이하가 되는 곳을 찾아보면,

$n=4$ 일 때: $1\times 0=0\le 0$

$n=5$ 일 때: $0\times -1=0\le 0$

$n=7$ 일 때: $-1\times 0=0\le 0$

$n=8$ 일 때: $0\times 1=0\le 0$

이렇게 총 4개의 $n$에서 조건이 성립해 버립니다. 우리가 원하는 건 딱 2개인데 말이죠.

0이 포함되어 있으면 양옆의 부호가 다를 때 0과의 곱이 두 번 연속으로 0 이하가 되어 매칭 개수가 늘어난다는 점을 놓치기 쉽습니다.

step4. 조건 (나)를 만족하도록 최적의 수열 완성 및 최댓값 계산

매칭 개수를 4개에서 2개로 줄이면서도, 합이 줄어드는 손실을 최소화해야 해요.

문제가 되는 부분은 $a_5=0$과 $a_8=0$입니다. 이 0들을 다른 후보인 $-3$으로 바꾸면 어떻게 될까요?

$a_5$를 $0$에서 $-3$으로 바꾸면, 주변 항들이 $1,-3,-1$이 됩니다.

그러면 $1\times -3=-3\le 0$ ($n=4$) 하나만 성립하고, $-3\times -1=3>0$이 되어 $n=5$에서의 매칭이 사라집니다!

마찬가지로 $a_8$을 $0$에서 $-3$으로 바꾸면, 주변 항들이 $-1,-3,1$이 되어 $n=8$에서만 매칭이 일어나고 $n=7$에서의 매칭이 사라집니다.

이렇게 두 곳을 모두 $-3$으로 수정하면 매칭 개수가 정확히 2개가 됩니다.

수정된 수열: $4,3,2,1,-3,-1,-1,-3,1,2,3$

(참고로 $a_{11}$은 $3$을 선택해야 $a_{10}\times a_{11}=6>0$이 되어 추가 매칭이 생기지 않아요.)

만약 0을 그대로 두고 다른 양수들을 음수로 바꾼다면 합이 훨씬 더 많이 줄어들게 됩니다. 따라서 이 선택이 합을 최대로 만드는 최적의 방법이에요.

이제 1항부터 10항까지의 합을 구해볼까요?

${\sum }_{n=1}^{10}{a}_n=4+3+2+1+(-3)+(-1)+(-1)+(-3)+1+2=5$

따라서 구하는 최댓값은 5가 됩니다.

step1. $a_k$의 후보 구하기

$x^2+3x+(8-k)(k-5)=0$

$(x+8-k)(x+k-5)=0$

$\therefore a_k=k-8$ 또는 $a_k=5-k$

step2. $k=1~11$까지 후보 나열

$k=1:-7,4$

$k=2:-6,3$

$k=3:-5,2$

$k=4:-4,1$

$k=5:-3,0$

$k=6:-2,-1$

$k=7:-1,-2$

$k=8:0,-3$

$k=9:1,-4$

$k=10:2,-5$

$k=11:3,-6$

step3. 합이 최대가 되는 초기 조합 선택

--- 큰 값만 선택하여 나열하면

$a_k:4,3,2,1,0,-1,-1,0,1,2,3$

$a_n{a}_{n+1}\le 0$인 $n$은 $4,5,7,8$   --- 총 4개

step4. 조건에 맞게 최적화 및 최댓값 계산

--- 매칭 개수를 2개로 줄이면서 합의 감소를 최소화하려면 $a_5,a_8$을 수정

$a_5=0\to -3$   --- 매칭 $n=4$ 1개로 감소, 합 -3

$a_8=0\to -3$   --- 매칭 $n=8$ 1개로 감소, 합 -3

수정된 수열: $4,3,2,1,-3,-1,-1,-3,1,2,3$

매칭 $n=4,8$   --- 총 2개 만족

${\sum }_{n=1}^{10}{a}_n=4+3+2+1-3-1-1-3+1+2=5$

$\therefore 5$