수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $f(x)$ 그래프 개형과 $g(t)$ 최솟값 조건

먼저 $f(x)$의 그래프를 그려볼게요.

$x\le 0$일 때, $y=-a{x}^2+b$는 꼭짓점이 $(0,b)$이고 위로 볼록한 이차함수예요. 여기에 절댓값을 씌웠으니, $x$축 아래로 내려간 부분이 꺾여 올라가서 무한대로 뻗어나가는 모양이 됩니다.

$x>0$일 때, $y=x^2-2ax+b^2=(x-a{)}^2+b^2-a^2$이므로 꼭짓점이 $(a,b^2-a^2)$이고 아래로 볼록한 이차함수예요. $x=0$일 때의 극한값은 $b^2$이죠.

이제 $y=t$를 그어 교점 개수 $g(t)$를 관찰해봅시다. $g(t)$의 최솟값이 2라고 했어요.

만약 $b\le b^2-a^2$라면 어떻게 될까요?

$t$가 $b$보다 살짝 크고 $b^2-a^2$보다 작을 때, 왼쪽 그래프와는 1점에서 만나고 오른쪽 그래프와는 만나지 않아서 $g(t)=1$이 되어버려요. 이는 최솟값이 2라는 조건에 모순이죠!

따라서 반드시 $b>b^2-a^2$이어야 한다는 중요한 사실을 알 수 있습니다.

step2. $b$의 범위에 따른 $g(t)$ 분석

이제 교점 개수가 변하는 경계값은 $b^2-a^2,b,b^2$ 세 가지입니다. 그런데 $b$와 $b^2$ 중 누가 더 큰지 모르기 때문에 경우를 나누어야 해요.

Case 1) $b>1$ (즉, $b^2-a^2<b<b^2$)

- $t=b^2-a^2$ 일 때: 왼쪽 2개, 오른쪽 1개 $\to g(t)=3$

- $t=b$ 일 때: 왼쪽 2개, 오른쪽 2개 $\to g(t)=4$

- $t=b^2$ 일 때: 왼쪽 1개, 오른쪽 1개($x=2a$에서 만남) $\to g(t)=2$

이 경계값들을 기준으로 좌우 극한을 살펴보면, $t=b^2-a^2$에서 $2\to 4$로 변하고, $t=b^2$에서 $3\to 2$로 변합니다.

Case 2) $b<1$ (즉, $b^2-a^2<b^2<b$)

- $t=b^2-a^2$ 일 때: $g(t)=3$

- $t=b^2$ 일 때: $g(t)=3$

- $t=b$ 일 때: $g(t)=3$

Case 3) $b=1$ (즉, $b^2-a^2<b=b^2$)

- $t=1-a^2$ 일 때: $g(t)=3$

- $t=1$ 일 때: $g(t)=3$

step3. 조건 (가), (나), (다)를 통한 $\alpha ,\beta$ 특정

조건 (가)는 좌우 극한의 차이가 2가 되는 곳이 $\alpha$라는 뜻이에요.

모든 Case에서 $t=b^2-a^2$일 때 교점이 2개에서 4개로 뛰므로 차이가 2가 됩니다. 따라서 $\alpha =b^2-a^2$가 유력해요.

조건 (나)는 ${lim}_{t\to {\beta }^{-}}g(t)-{lim}_{t\to {\beta }^{+}}g(t)+1=g(\beta )$ 입니다.

각 Case의 불연속점들을 이 식에 대입하여 성립하는지 확인해봅시다.

- Case 1에서 $\beta =b^2$를 대입하면: 좌극한(3) - 우극한(2) + 1 = 2. 그리고 $g(b^2)=2$이므로 완벽하게 성립합니다!

- Case 2와 3의 불연속점들을 대입해보면 이 식이 성립하지 않거나, 조건 (다)인 $g(\alpha )\ne g(\beta )$에 위배됩니다.

결론적으로 우리는 Case 1 ($b>1$) 상황임을 확정할 수 있고, $\alpha =b^2-a^2$, $\beta =b^2$ 임을 찾아냈습니다.

step4. $a,b$ 값 계산

이제 남은 조건식에 대입하여 $a,b$를 계산해볼게요.

첫 번째 조건: $f(\frac{1}{2})=\alpha$

$\frac{1}{2}>0$이므로 오른쪽 식에 대입합니다.

$(\frac{1}{2}{)}^2-2a(\frac{1}{2})+b^2=b^2-a^2$

$\frac{1}{4}-a=-a^2$

$a^2-a+\frac{1}{4}=0$

$(a-\frac{1}{2}{)}^2=0⟹a=\frac{1}{2}$

두 번째 조건: $\alpha +24\beta =30$

$\alpha =b^2-a^2=b^2-\frac{1}{4}$ 이고, $\beta =b^2$ 입니다.

$(b^2-\frac{1}{4})+24b^2=30$

$25b^2=30+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$

$b^2=\frac{121}{100}$

$b>0$이므로 $b=\frac{11}{10}$ 입니다. ($b>1$ 조건도 잘 만족하네요!)

step5. 최종 정답 도출

구해낸 $a=\frac{1}{2},b=\frac{11}{10}$을 원래 함수에 대입하여 문제에서 요구하는 값을 계산합니다.

$f(-2)$는 $x\le 0$ 구간이므로:

$f(-2)=|-\frac{1}{2}(-2{)}^2+\frac{11}{10}|=|-2+1.1|=|-0.9|=\frac{9}{10}$

$f(1)$은 $x>0$ 구간이므로:

$f(1)=1^2-2(\frac{1}{2})(1)+(\frac{11}{10}{)}^2=1-1+\frac{121}{100}=\frac{121}{100}$

두 값을 더하면:

$f(-2)+f(1)=\frac{90}{100}+\frac{121}{100}=\frac{211}{100}$

따라서 $p=100,q=211$이 되고, $p+q=311$ 입니다.

step1. & 2. 그래프 개형 및 g(t) 분석

$f(x)$ 극값: $y=b$ (왼쪽), $y=b^2-a^2$   --- 오른쪽

$g(t)$ 최솟값 2 $⟹b>b^2-a^2$

$b$와 $b^2$ 대소 비교:

$b>1$일 때 불연속점 $b^2-a^2,b,b^2$

step3. 조건 가, 나, 다 적용

(가) 점프 2인 곳 $⟹\alpha =b^2-a^2$

(나) ${lim}_{t\to {\beta }^{-}}g(t)-{lim}_{t\to {\beta }^{+}}g(t)+1=g(\beta )$

--- $b>1$일 때 $\beta =b^2$ 대입 시 $3-2+1=2$ 성립

$\therefore \alpha =b^2-a^2,\beta =b^2$

step4. a, b 계산

$f(1/2)=\alpha ⟹(1/2{)}^2-2a(1/2)+b^2=b^2-a^2$

$a^2-a+1/4=0⟹a=1/2$

$\alpha +24\beta =30⟹(b^2-1/4)+24b^2=30$

$25b^2=121/4⟹b^2=121/100⟹b=11/10$

step5. 최종 계산

$f(-2)=|-1/2(4)+11/10|=0.9=90/100$

$f(1)=1-1+121/100=121/100$

$f(-2)+f(1)=211/100$

$\therefore p+q=311$