수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 짝수 번째 항들의 규칙 찾기

조건 (가)에 의해 $a_1,a_3,a_5,a_7$은 공비가 $r$ ($r>0$)인 등비수열을 이룹니다.

따라서 $a_3=a_{1}r$, $a_5=a_1{r}^2$, $a_7=a_1{r}^3$으로 나타낼 수 있어요.

조건 (나) $a_n{a}_{9-n}=75$에 $n=1,3,5,7$을 대입해 볼까요?

$a_1{a}_8=75⟹a_8=\frac{75}{a_1}$

$a_3{a}_6=75⟹a_6=\frac{75}{a_3}=\frac{75}{a_{1}r}=\frac{1}{r}{a}_8$

$a_5{a}_4=75⟹a_4=\frac{75}{a_5}=\frac{75}{a_1{r}^2}=\frac{1}{r^2}{a}_8$

$a_7{a}_2=75⟹a_2=\frac{75}{a_7}=\frac{75}{a_1{r}^3}=\frac{1}{r^3}{a}_8$

이 결과를 순서대로 다시 적어보면 $a_4=a_{2}r$, $a_6=a_2{r}^2$, $a_8=a_2{r}^3$이 됩니다. 즉, 짝수 번째 항인 $a_2,a_4,a_6,a_8$도 공비가 $r$인 등비수열을 이룬다는 것을 알 수 있습니다.

step2. 공비 $r$ 구하기

이제 ${\sum }_{k=1}^8{a}_k=\frac{400}{3}$ 조건을 활용해 봅시다.

8개의 항을 홀수 번째 항과 짝수 번째 항으로 나누어 더해볼게요.

${\sum }_{k=1}^8{a}_k=(a_1+a_3+a_5+a_7)+(a_2+a_4+a_6+a_8)$

$=a_1(1+r+r^2+r^3)+a_2(1+r+r^2+r^3)$

$=(a_1+a_2)(1+r+r^2+r^3)$

여기서 $a_1$부터 $a_8$까지 전체가 하나의 등비수열이라고 착각하여 등비수열의 합 공식을 바로 쓰면 안 됩니다. 홀수 번째와 짝수 번째를 따로 묶어내는 것이 중요해요.

문제에서 $a_1+a_2=\frac{10}{3}$이라고 주어졌으므로 대입하면,

$\frac{10}{3}(1+r+r^2+r^3)=\frac{400}{3}$

$1+r+r^2+r^3=40$

$r^3+r^2+r-39=0$

이 삼차방정식을 풀기 위해 $r=3$을 대입해보면 $27+9+3-39=0$이 성립합니다.

조립제법을 이용해 인수분해하면 $(r-3)(r^2+4r+13)=0$이 됩니다.

$r$은 양수이므로 $r=3$입니다.

step3. $a_1$과 $a_2$의 값 구하기

$r=3$을 구했으니, 이제 $a_1$과 $a_2$를 찾아봅시다.

step1에서 $a_8=a_2{r}^3$이었으므로, $a_8=27a_2$입니다.

조건 (나)에서 $a_1{a}_8=75$이므로, $a_1(27a_2)=75$가 됩니다.

따라서 $a_1{a}_2=\frac{75}{27}=\frac{25}{9}$입니다.

우리는 $a_1+a_2=\frac{10}{3}$과 $a_1{a}_2=\frac{25}{9}$를 알고 있습니다.

이 두 수를 근으로 하는 이차방정식을 세우면 $x^2-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$이 됩니다.

양변에 9를 곱하면 $9x^2-30x+25=0$이고, 완전제곱식으로 인수분해하면 $(3x-5{)}^2=0$입니다.

따라서 중근 $x=\frac{5}{3}$을 가지므로, $a_1=\frac{5}{3}$, $a_2=\frac{5}{3}$입니다.

step4. $a_3$과 $a_8$의 값 계산하기

이제 구하고자 하는 $a_3+a_8$의 값을 계산할 차례입니다.

$a_3=a_{1}r=\frac{5}{3}\times 3=5$

$a_8=a_2{r}^3=\frac{5}{3}\times 27=45$

따라서 $a_3+a_8=5+45=50$입니다.

step1. 짝수 번째 항들의 규칙 찾기

$a_3=a_{1}r,a_5=a_1{r}^2,a_7=a_1{r}^3$

$a_1{a}_8=75⟹a_8=\frac{75}{a_1}$

$a_3{a}_6=75⟹a_6=\frac{75}{a_{1}r}=\frac{1}{r}{a}_8$

$a_5{a}_4=75⟹a_4=\frac{75}{a_1{r}^2}=\frac{1}{r^2}{a}_8$

$a_7{a}_2=75⟹a_2=\frac{75}{a_1{r}^3}=\frac{1}{r^3}{a}_8$

--- $a_2,a_4,a_6,a_8$도 공비가 $r$인 등비수열을 이룸

step2. 공비 $r$ 구하기

${\sum }_{k=1}^8{a}_k=(a_1+a_3+a_5+a_7)+(a_2+a_4+a_6+a_8)$

$=a_1(1+r+r^2+r^3)+a_2(1+r+r^2+r^3)$

$=(a_1+a_2)(1+r+r^2+r^3)=\frac{400}{3}$

$\frac{10}{3}(1+r+r^2+r^3)=\frac{400}{3}$

$r^3+r^2+r-39=0$

$(r-3)(r^2+4r+13)=0⟹r=3$   --- $\because r>0$

step3. $a_1$과 $a_2$의 값 구하기

$a_8=a_2{r}^3=27a_2$

$a_1{a}_8=75⟹27a_1{a}_2=75⟹a_1{a}_2=\frac{25}{9}$

$a_1+a_2=\frac{10}{3}$이므로 $a_1,a_2$는 $x^2-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=0$의 두 근

$(x-\frac{5}{3}{)}^2=0⟹a_1=a_2=\frac{5}{3}$

step4. $a_3$과 $a_8$의 값 계산하기

$a_3=a_{1}r=5$

$a_8=a_2{r}^3=45$

$\therefore 50$