수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 점 $(4,2)$를 지나는 조건으로 $p,q$의 관계식 찾기

두 곡선이 점 $(4,2)$에서 만나므로, 이 점을 $y={\log }_2(x-p)+q$에 대입해 봅시다.

$2={\log }_2(4-p)+q$

이 식을 $q$에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

$q=2-{\log }_2(4-p)$

step2. 네 점 $A,B,C,D$의 $x$좌표 구하기

이제 각 점의 $y$좌표를 이용하여 $x$좌표를 구해볼게요. 로그식을 지수식으로 바꾸는 로그의 정의(${\log }_{a}X=Y⟺X=a^Y$)를 활용합니다.

- 점 $A$: $y={\log }_{2}x$가 $x$축($y=0$)과 만나는 점

${\log }_{2}x=0⟹x=2^0=1$

- 점 $B$: $y={\log }_2(x-p)+q$가 $x$축($y=0$)과 만나는 점

${\log }_2(x-p)+q=0⟹{\log }_2(x-p)=-q$

$x-p=2^{-q}⟹x=p+2^{-q}$

- 점 $C$: $y={\log }_{2}x$가 직선 $y=3$과 만나는 점

${\log }_{2}x=3⟹x=2^3=8$

- 점 $D$: $y={\log }_2(x-p)+q$가 직선 $y=3$과 만나는 점

${\log }_2(x-p)+q=3⟹{\log }_2(x-p)=3-q$

$x-p=2^{3-q}⟹x=p+2^{3-q}$

step3. 선분의 길이 조건으로 방정식 세우기

선분의 길이는 큰 $x$좌표에서 작은 $x$좌표를 빼서 구합니다. 그림을 보면 $C$가 $D$보다 오른쪽에 있고, $B$가 $A$보다 오른쪽에 있죠?

좌표의 대소 관계를 잘못 파악하면 부호가 반대로 되어 계산이 틀릴 수 있으니 조심해야 해요.

$\overline{CD}=8-(p+2^{3-q})$

$\overline{BA}=(p+2^{-q})-1$

이제 문제의 조건인 $\overline{CD}-\overline{BA}=\frac{3}{4}$에 대입해 봅니다.

$8-p-2^{3-q}-(p+2^{-q}-1)=\frac{3}{4}$

$9-2p-2^{3-q}-2^{-q}=\frac{3}{4}$

여기서 $2^{3-q}=2^3·2^{-q}=8·2^{-q}$이므로, 식을 더 간단히 묶을 수 있어요.

$9-2p-8·2^{-q}-2^{-q}=\frac{3}{4}$

$9-2p-9·2^{-q}=\frac{3}{4}$

step4. 연립방정식 풀기

이제 step1에서 구한 $q=2-{\log }_2(4-p)$를 step3의 식에 대입할 차례입니다.

먼저 $2^{-q}$ 부분을 따로 계산해 볼게요. 지수법칙과 로그의 성질($a^{{\log }_{a}b}=b$)을 적용하여 식을 다항식으로 변환하는 것이 포인트입니다.

$2^{-q}=2^{-(2-{\log }_2(4-p))}=2^{-2+{\log }_2(4-p)}$

지수법칙에 의해 분리하면,

$2^{-2}·2^{{\log }_2(4-p)}=\frac{1}{4}·(4-p)$

이 결과를 step3의 식에 대입합니다.

$9-2p-9·\frac{1}{4}(4-p)=\frac{3}{4}$

$9-2p-\frac{9}{4}(4-p)=\frac{3}{4}$

괄호를 풀고 정리해 볼까요?

$9-2p-9+\frac{9}{4}p=\frac{3}{4}$

$\frac{1}{4}p=\frac{3}{4}$

따라서 $p=3$이 됩니다.

마지막으로 $p=3$을 $q=2-{\log }_2(4-p)$에 대입하여 $q$를 구합니다.

$q=2-{\log }_2(4-3)=2-{\log }_{2}1=2-0=2$

우리가 구하려는 값은 $p+q$이므로,

$p+q=3+2=5$입니다.

step1. 교점 조건

$2={\log }_2(4-p)+q$

$\therefore q=2-{\log }_2(4-p)$

step2. 네 점의 $x$좌표

$A$: ${\log }_{2}x=0⟹x=1$

$B$: ${\log }_2(x-p)+q=0⟹x=p+2^{-q}$

$C$: ${\log }_{2}x=3⟹x=8$

$D$: ${\log }_2(x-p)+q=3⟹x=p+2^{3-q}$

step3. 선분 길이 조건

$\overline{CD}=8-(p+2^{3-q})$

$\overline{BA}=(p+2^{-q})-1$

$\overline{CD}-\overline{BA}=9-2p-2^{3-q}-2^{-q}=\frac{3}{4}$

$9-2p-9·2^{-q}=\frac{3}{4}$

step4. 연립하여 풀기

--- $q=2-{\log }_2(4-p)$이므로

$2^{-q}=2^{-2+{\log }_2(4-p)}=\frac{1}{4}(4-p)$

--- 위 식에 대입하면

$9-2p-\frac{9}{4}(4-p)=\frac{3}{4}$

$9-2p-9+\frac{9}{4}p=\frac{3}{4}$

$\frac{1}{4}p=\frac{3}{4}⟹p=3$

$q=2-{\log }_2(4-3)=2$

$\therefore p+q=5$