수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 거듭제곱근의 개수 규칙 확인하기

먼저 $f(n)$이 무엇인지 정확히 이해해 볼게요. $f(n)$은 어떤 수의 $n$제곱근 중 실수인 것의 개수예요.

여기서 가장 중요한 것은 $n$이 홀수일 때는 무조건 개수가 1개라는 점이에요.

반면에 $n$이 짝수일 때는 대상이 되는 수가 양수면 2개, 0이면 1개, 음수면 0개가 됩니다. 이 규칙을 머릿속에 꼭 담아두고 다음 단계로 넘어가 볼까요?

step2. 이차식 인수분해하기

우리가 부호를 따져야 할 대상은 $n^2-15n+50$ 이에요. 이 상태로 $n$을 대입하면 계산이 번거로우니 인수분해를 해볼게요.

$n^2-15n+50=(n-5)(n-10)$

이렇게 만들어두면 $n$에 숫자를 넣었을 때 양수인지, 0인지, 음수인지 아주 쉽게 알 수 있답니다.

step3. $f(n)$의 값 차례대로 구하기

이제 $n=4$부터 차례대로 $f(n)$을 구해볼게요.

문제에서 $n$의 범위가 $12$까지 주어졌지만, 우리가 확인해야 할 조건은 $f(n)=f(n+1)$이므로 $n=12$일 때 $f(13)$의 값도 꼭 구해야 한다는 점을 잊지 마세요!

- $n=4$ (짝수): $(4-5)(4-10)=(-1)(-6)=6>0$ 이므로 $f(4)=2$

- $n=5$ (홀수): 홀수이므로 무조건 $f(5)=1$

- $n=6$ (짝수): $(6-5)(6-10)=(1)(-4)=-4<0$ 이므로 $f(6)=0$

- $n=7$ (홀수): 홀수이므로 무조건 $f(7)=1$

- $n=8$ (짝수): $(8-5)(8-10)=(3)(-2)=-6<0$ 이므로 $f(8)=0$

- $n=9$ (홀수): 홀수이므로 무조건 $f(9)=1$

- $n=10$ (짝수): $(10-5)(10-10)=0$ 이므로 $f(10)=1$

- $n=11$ (홀수): 홀수이므로 무조건 $f(11)=1$

- $n=12$ (짝수): $(12-5)(12-10)=(7)(2)=14>0$ 이므로 $f(12)=2$

- $n=13$ (홀수): 홀수이므로 무조건 $f(13)=1$

step4. 조건을 만족하는 $n$ 찾기

이제 구한 값들을 보면서 이웃한 두 값이 같아지는 순간, 즉 $f(n)=f(n+1)$이 되는 $n$을 찾아볼게요.

- $n=4$일 때: $f(4)=2,f(5)=1$ (다름)

- $n=5$일 때: $f(5)=1,f(6)=0$ (다름)

- $n=6$일 때: $f(6)=0,f(7)=1$ (다름)

- $n=7$일 때: $f(7)=1,f(8)=0$ (다름)

- $n=8$일 때: $f(8)=0,f(9)=1$ (다름)

- $n=9$일 때: $f(9)=1,f(10)=1$ (같음!)

- $n=10$일 때: $f(10)=1,f(11)=1$ (같음!)

- $n=11$일 때: $f(11)=1,f(12)=2$ (다름)

- $n=12$일 때: $f(12)=2,f(13)=1$ (다름)

조건을 만족하는 $n$은 $9$와 $10$이네요.

따라서 모든 $n$의 값의 합은 $9+10=19$가 됩니다.

step1. , 2. 식 정리 및 개념

$A(n)=n^2-15n+50=(n-5)(n-10)$

$n$이 홀수 $⟹f(n)=1$

$n$이 짝수 $⟹A(n)$의 부호에 따라 $2,1,0$개

step3. $f(n)$ 계산

$f(4)=2$   --- $A(4)=6>0$이므로

$f(5)=1$

$f(6)=0$   --- $A(6)=-4<0$이므로

$f(7)=1$

$f(8)=0$   --- $A(8)=-6<0$이므로

$f(9)=1$

$f(10)=1$   --- $A(10)=0$이므로

$f(11)=1$

$f(12)=2$   --- $A(12)=14>0$이므로

$f(13)=1$

step4. 조건 확인

$f(n)=f(n+1)$ 인 $n$ 찾기   --- $4\le n\le 12$

$n=9⟹f(9)=1,f(10)=1$

$n=10⟹f(10)=1,f(11)=1$

∴ $9+10=19$