수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 조건 (나) 분석하기

$g(x)=0$ 이 되는 $x$를 찾아봅시다.

$x\le 3$ 일 때, $g(x)=(x-k{)}^2=0$ 이므로 $x=k$ 입니다.

$x>3$ 일 때, $g(x)=k(x-a-k{)}^2=0$ 이므로 $x=a+k$ 입니다.

조건 (나)에 의해 $g(x)=0$ 인 $x$는 오직 하나여야 합니다.

만약 $k\le 3$ 이라면 $x=k$ 는 $x\le 3$ 구간에 속하므로 해가 됩니다. 이때 $x=a+k$ 도 $x>3$ 구간에 속한다면(즉, $a+k>3$) 해가 두 개가 되어 조건에 어긋납니다. 따라서 $a+k\le 3$ 이어야 합니다.

만약 $k>3$ 이라면 $x=k$ 는 구간에 속하지 않아 해가 아닙니다. 이때 $x=a+k$ 는 $a>0$ 이므로 당연히 $a+k>3$ 이 되어 해가 됩니다.

따라서 해가 1개가 되기 위한 조건은 다음 두 가지 경우로 나뉩니다.

Case 1: $k\le 3$ 이고 $a+k\le 3$

Case 2: $k>3$

step2. 조건 (가) 분석하기

$x=3$ 에서 극한이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 합니다.

좌극한: ${lim}_{x\to 3^{-}}g(x)=(3-k{)}^2$

우극한: ${lim}_{x\to 3^{+}}g(x)=k(3-a-k{)}^2$

따라서 $(3-k{)}^2=k(3-a-k{)}^2$ 입니다.

여기서 양변에 루트를 씌울 때 절댓값을 빼먹으면 안 됩니다.

$|3-k|=\sqrt{k}|3-a-k|$ 가 됩니다.

step3. $k$의 범위 구하기

이제 step1의 두 가지 경우를 step2의 식에 적용해 봅시다.

[Case 2] $k>3$ 인 경우:

$3-k<0$ 이고, $a+k>3$ 이므로 $3-a-k<0$ 입니다.

따라서 $-(3-k)=\sqrt{k}\times -(3-a-k)$ 가 되어 $k-3=\sqrt{k}(a+k-3)$ 입니다.

이를 $a$에 대해 정리하면 $a+k-3=\frac{k-3}{\sqrt{k}}$ 이고, $a=(k-3)(\frac{1}{\sqrt{k}}-1)$ 입니다.

그런데 $k>3$ 이면 $\sqrt{k}>\sqrt{3}>1$ 이므로 $\frac{1}{\sqrt{k}}-1<0$ 이 됩니다.

$k-3>0$ 이므로 $a<0$ 이 되어 양수 $a$ 라는 조건에 모순입니다. 따라서 Case 2는 불가능합니다.

[Case 1] $k\le 3$ 이고 $a+k\le 3$ 인 경우:

$3-k\ge 0$ 이고, $3-a-k\ge 0$ 입니다.

따라서 $3-k=\sqrt{k}(3-a-k)$ 입니다.

이를 $a$에 대해 정리하면 $3-a-k=\frac{3-k}{\sqrt{k}}$ 이고, $a=(3-k)(1-\frac{1}{\sqrt{k}})$ 입니다.

양수 $a$ 조건에 의해 $a>0$ 이어야 하므로, $1-\frac{1}{\sqrt{k}}>0$ 즉 $\sqrt{k}>1⟹k>1$ 입니다.

결론적으로 $k$의 범위는 $1<k<3$ 이고, $a=(3-k)(1-\frac{1}{\sqrt{k}})$ 입니다.

step4. <보기> 판별하기

ㄱ. $f(1)=1$ 이면 $(1-k{)}^2=1$ 이므로 $1-k=1$ 또는 $1-k=-1$ 입니다.

즉 $k=0$ 또는 $k=2$ 인데, $1<k<3$ 이므로 $k=2$ 입니다.

$k=2$ 일 때 $g(2)$ 를 구하면, $2\le 3$ 이므로 $g(2)=f(2)=(2-2{)}^2=0$ 입니다. (참)

ㄴ. $g(k+a)$ 와 $g(3)$ 을 비교해 봅시다.

$k+a=3-\frac{3-k}{\sqrt{k}}$ 인데, $1<k<3$ 이므로 $\frac{3-k}{\sqrt{k}}>0$ 입니다.

따라서 $k+a<3$ 입니다.

$g(k+a)=f(k+a)=(k+a-k{)}^2=a^2$ 입니다.

$g(3)=f(3)=(3-k{)}^2$ 입니다.

$a=(3-k)(1-\frac{1}{\sqrt{k}})$ 에서 $1<k<3$ 이므로 $0<1-\frac{1}{\sqrt{k}}<1$ 입니다.

따라서 $a<3-k$ 이고, 양변을 제곱하면 $a^2<(3-k{)}^2$ 이 되어 $g(k+a)<g(3)$ 이 성립합니다. (참)

ㄷ. $(k-1)(k-2)\ge 0$ 인지 확인해 봅시다.

우리가 구한 $k$의 범위는 $1<k<3$ 입니다.

만약 $k=1.5$ 라면 $(1.5-1)(1.5-2)=0.5\times (-0.5)=-0.25<0$ 이 되어 부등식이 성립하지 않습니다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 입니다.

step1. 조건 (나) 분석

$g(x)=0⟹x=k$ 또는 $x=a+k$

조건 (나)에 의해 해가 1개이므로

Case 1: $k\le 3$ 이고 $a+k\le 3$   --- 해는 $x=k$

Case 2: $k>3$ 이고 $a+k>3$   --- 해는 $x=a+k$

step2. 조건 (가) 분석

${lim}_{x\to 3^{-}}g(x)={lim}_{x\to 3^{+}}g(x)$

$(3-k{)}^2=k(3-a-k{)}^2$

$|3-k|=\sqrt{k}|3-a-k|$

step3. $k$의 범위 구하기

Case 2의 경우: $k>3,a+k>3$ 이므로

$-(3-k)=-\sqrt{k}(3-a-k)⟹k-3=\sqrt{k}(a+k-3)$

$a=(k-3)(\frac{1}{\sqrt{k}}-1)<0$   --- ($a>0$ 에 모순)

Case 1의 경우: $k\le 3,a+k\le 3$ 이므로

$3-k=\sqrt{k}(3-a-k)⟹a=(3-k)(1-\frac{1}{\sqrt{k}})$

$a>0$ 이므로 $1-\frac{1}{\sqrt{k}}>0⟹k>1$

$\therefore ①<k<3$

step4. <보기> 판별하기

ㄱ. $f(1)=1⟹(1-k{)}^2=1⟹k=0,2$

$1<k<3$ 이므로 $k=2⟹g(2)=f(2)=0$   --- 참

ㄴ. $k+a=3-\frac{3-k}{\sqrt{k}}<3$ 이므로

$g(k+a)=f(k+a)=a^2$

$a=(3-k)(1-\frac{1}{\sqrt{k}})<3-k$ 이므로 $a^2<(3-k{)}^2=g(3)$   --- 참

ㄷ. $1<k<3$ 이므로 $k=1.5$ 일 때 $(1.5-1)(1.5-2)<0$   --- 거짓

$\therefore ②$