수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 방정식 정리하기

주어진 방정식 $9^x-10\times 3^{x+1}+81=0$에서 밑을 3으로 통일해 볼게요.

먼저 $9^x$는 $(3^2{)}^x$이므로 지수법칙에 의해 $(3^x{)}^2$으로 쓸 수 있어요.

그리고 $3^{x+1}$은 $3^x\times 3^1$, 즉 $3\times 3^x$로 분리할 수 있습니다.

지수법칙을 활용하여 모든 항을 $3^x$를 포함하는 형태로 변형하는 것이 이 문제의 출발점입니다.

이제 변형한 식을 원래 방정식에 대입하면,

$(3^x{)}^2-10\times (3\times 3^x)+81=0$이 됩니다.

가운데 항을 계산하여 정리하면,

$(3^x{)}^2-30\times 3^x+81=0$이 됩니다.

step2. 치환하여 이차방정식 풀기

식이 한결 간단해졌죠? 이제 반복되는 $3^x$를 새로운 문자 $t$로 치환해 보겠습니다.

$3^x=t$로 두면, 지수함수의 성질에 의해 $t>0$이라는 조건이 붙습니다.

방정식을 $t$에 대해 다시 쓰면,

$t^2-30t+81=0$이 됩니다.

이 이차방정식을 인수분해해 볼까요? 곱해서 81, 더해서 -30이 되는 두 수는 -3과 -27입니다.

따라서 $(t-3)(t-27)=0$으로 인수분해됩니다.

이를 만족하는 $t$의 값은 $t=3$ 또는 $t=27$입니다. 두 값 모두 $t>0$ 조건을 만족하네요.

step3. 원래 근 구하기 및 최종 계산

여기서 구한 3과 27을 바로 $\alpha ,\beta$로 착각하면 안 됩니다. 우리가 구한 것은 $t$의 값이지 $x$의 값이 아니니까요.

원래 변수인 $x$를 구하기 위해 다시 $3^x=t$에 대입해 줍니다.

첫 번째로 $t=3$일 때, $3^x=3$이므로 $x=1$입니다.

두 번째로 $t=27$일 때, $3^x=27$이고 $27=3^3$이므로 $x=3$입니다.

따라서 주어진 방정식의 두 실근은 $1$과 $3$입니다.

문제에서 두 실근을 $\alpha ,\beta$라 했으므로, $\alpha =1,\beta =3$ (또는 그 반대)이 됩니다.

마지막으로 구하고자 하는 ${\alpha }^2+{\beta }^2$의 값을 계산하면,

$1^2+3^2=1+9=10$이 됩니다.

step1. 방정식 정리하기

$9^x-10\times 3^{x+1}+81=0$

$(3^x{)}^2-10\times 3\times 3^x+81=0$

$(3^x{)}^2-30\times 3^x+81=0$

step2. 치환하여 이차방정식 풀기

--- $3^x=t(t>0)$로 치환하면

$t^2-30t+81=0$

$(t-3)(t-27)=0$

$t=3$ 또는 $t=27$

step3. 원래 근 구하기 및 최종 계산

--- $t$를 다시 $3^x$로 되돌리면

$3^x=3⟹x=1$

$3^x=27⟹x=3$

$\alpha ,\beta$는 $1,3$이므로

${\alpha }^2+{\beta }^2=1^2+3^2=10$

$\therefore 10$