수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 첫 번째 시그마 식 전개 및 정리

먼저 첫 번째 조건인 ${\sum }_{k=1}^5(2a_k-1{)}^2=61$의 괄호 안을 전개해 볼게요.

$(2a_k-1{)}^2=4a_k^2-4a_k+1$이 되죠.

이것을 시그마에 넣고 시그마의 성질을 이용해 분리하면,

$4{\sum }_{k=1}^5{a}_k^2-4{\sum }_{k=1}^5{a}_k+{\sum }_{k=1}^{5}1=61$이 됩니다.

여기서 ${\sum }_{k=1}^{5}1$을 그냥 1이라고 착각하기 쉬워요. 1을 5번 더하는 것이므로 $1\times 5=5$가 됩니다.

따라서 식은 $4{\sum }_{k=1}^5{a}_k^2-4{\sum }_{k=1}^5{a}_k+5=61$이 되고, 5를 우변으로 넘기면

$4{\sum }_{k=1}^5{a}_k^2-4{\sum }_{k=1}^5{a}_k=56$이 됩니다.

양변을 4로 나누어 간단히 하면,

${\sum }_{k=1}^5{a}_k^2-{\sum }_{k=1}^5{a}_k=14$ 라는 첫 번째 식을 얻을 수 있어요.

step2. 두 번째 시그마 식 전개 및 정리

이번에는 두 번째 조건인 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k(a_k-4)=11$을 전개해 볼까요?

괄호 안을 전개하면 $a_k^2-4a_k$가 됩니다.

마찬가지로 시그마의 성질을 이용해 분리하면,

${\sum }_{k=1}^5{a}_k^2-4{\sum }_{k=1}^5{a}_k=11$ 이라는 두 번째 식을 얻게 됩니다.

step3. 연립방정식 풀이

이제 우리가 얻은 두 식을 연립해서 풀어볼 거예요.

${\sum }_{k=1}^5{a}_k^2$를 $X$로, ${\sum }_{k=1}^5{a}_k$를 $Y$로 치환하면 식이 훨씬 간단해 보입니다.

step1에서 얻은 식: $X-Y=14$

step2에서 얻은 식: $X-4Y=11$

우리가 구하고 싶은 것은 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k^2$, 즉 $X$의 값이에요.

첫 번째 식에서 두 번째 식을 빼볼까요?

$(X-Y)-(X-4Y)=14-11$

$3Y=3$ 이 되므로, $Y=1$입니다.

이제 $Y=1$을 첫 번째 식 $X-Y=14$에 대입하면,

$X-1=14$ 이므로 $X=15$가 됩니다.

따라서 우리가 구하고자 하는 ${\sum }_{k=1}^5{a}_k^2$의 값은 15입니다.

step1. 첫 번째 시그마 식 전개 및 정리

${\sum }_{k=1}^5(4a_k^2-4a_k+1)=61$

$4{\sum }_{k=1}^5{a}_k^2-4{\sum }_{k=1}^5{a}_k+5=61$   --- ${\sum }_{k=1}^{5}1=5$이므로

$4{\sum }_{k=1}^5{a}_k^2-4{\sum }_{k=1}^5{a}_k=56$

${\sum }_{k=1}^5{a}_k^2-{\sum }_{k=1}^5{a}_k=14$ $\cdots$ ①

step2. 두 번째 시그마 식 전개 및 정리

${\sum }_{k=1}^5(a_k^2-4a_k)=11$

${\sum }_{k=1}^5{a}_k^2-4{\sum }_{k=1}^5{a}_k=11$ $\cdots$ ②

step3. 연립방정식 풀이

① - ② 를 하면:

$3{\sum }_{k=1}^5{a}_k=3⟹{\sum }_{k=1}^5{a}_k=1$

이를 ①에 대입하면:

${\sum }_{k=1}^5{a}_k^2-1=14$

∴ ${\sum }_{k=1}^5{a}_k^2=15$