수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 수열의 종류 파악 및 일반항 설정

조건 (가)에서 모든 자연수 $n$에 대하여 $2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$가 성립한다고 했어요. 이는 등차중항을 나타내는 식이므로, 수열 $\{a_n\}$은 등차수열입니다.

수열 $\{a_n\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라고 하면 일반항은 $a_n=a+(n-1)d$로 쓸 수 있어요.

여기서 모든 항이 양수라는 조건을 놓치기 쉽습니다. 모든 자연수 $n$에 대해 $a_n>0$이려면 첫째항 $a>0$이어야 하고, 공차 $d\ge 0$이어야 해요. 만약 $d<0$이라면 $n$이 커질 때 결국 음수가 되는 항이 생기기 때문이죠.

step2. 조건 (나)를 이용한 관계식 도출

이제 조건 (나)의 $a_3\times a_{22}=a_7\times a_8+10$에 일반항을 대입해 볼게요.

$a_3=a+2d$

$a_{22}=a+21d$

$a_7=a+6d$

$a_8=a+7d$

이것들을 식에 대입하면,

$(a+2d)(a+21d)=(a+6d)(a+7d)+10$

좌변을 전개하면 $a^2+23ad+42d^2$이 되고,

우변을 전개하면 $a^2+13ad+42d^2+10$이 됩니다.

양변에서 $a^2$과 $42d^2$이 똑같이 있으니 지워줄 수 있겠죠?

$23ad=13ad+10$

$10ad=10$

따라서 $ad=1$이라는 아주 간단한 관계식을 얻을 수 있습니다.

step3. 산술·기하 평균을 이용한 최솟값 계산

우리가 구해야 하는 값은 $a_4+a_6$입니다.

이것도 $a$와 $d$로 나타내면,

$a_4+a_6=(a+3d)+(a+5d)=2a+8d$가 됩니다.

$ad=1$이므로 $a$와 $d$는 모두 양수입니다.

양수의 합의 최솟값을 구해야 하고 두 수의 곱을 알고 있으므로, 산술·기하 평균의 관계를 떠올려야 합니다.

$2a>0,8d>0$이므로 산술·기하 평균의 관계를 적용하면,

$2a+8d\ge 2\sqrt{2a\times 8d}=2\sqrt{16ad}$

여기에 $ad=1$을 대입하면,

$2\sqrt{16\times 1}=2\times 4=8$

따라서 $2a+8d\ge 8$이 되어 최솟값은 8이 됩니다.

(참고로 등호는 $2a=8d$, 즉 $a=4d$일 때 성립하며, $ad=1$과 연립하면 $d=\frac{1}{2},a=2$일 때 최솟값을 가집니다.)

step1. 수열의 종류 파악 및 일반항 설정

$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$   --- 등차수열이므로

$a_n=a+(n-1)d$   --- $a>0,d\ge 0$

step2. 조건 (나)를 이용한 관계식 도출

$(a+2d)(a+21d)=(a+6d)(a+7d)+10$

$a^2+23ad+42d^2=a^2+13ad+42d^2+10$

$10ad=10$

$\therefore ad=1$

step3. 산술·기하 평균을 이용한 최솟값 계산

$a_4+a_6=(a+3d)+(a+5d)=2a+8d$

$2a+8d\ge 2\sqrt{16ad}$   --- 산술·기하 평균의 관계 이용

$ad=1$에 대입하면

$2a+8d\ge 2\sqrt{16}=8$

   --- 등호는 $2a=8d$, 즉 $a=2,d=1/2$일 때 성립

$\therefore 8$