수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 주기 파악하여 $b$ 구하기

그래프를 보면 $x$축과 만나는 점들이 $-7\pi ,-3\pi ,\pi$로 반복되고 있어요. 이 점들 사이의 거리가 바로 주기입니다. 주기는 $\pi -(-3\pi )=4\pi$가 되네요. 탄젠트 함수 $y=a\tan (bx+c)$의 주기는 $\frac{\pi }{|b|}$이므로, $\frac{\pi }{b}=4\pi$ ($b>0$이므로 절댓값 생략)가 됩니다. 따라서 $b=\frac{1}{4}$입니다.

step2. $x$절편을 이용하여 $c$ 구하기

이제 함수는 $y=a\tan (\frac{1}{4}x+c)$가 되었습니다. 그래프가 점 $(\pi ,0)$을 지나므로 대입해 볼게요. $0=a\tan (\frac{\pi }{4}+c)$가 됩니다. $a$는 양수이므로 $\tan (\frac{\pi }{4}+c)=0$이어야 해요. $\tan$ 값이 0이 되려면 각도가 $0,\pi ,2\pi ,\dots$ 등 정수 $\times \pi$ 형태여야 합니다. 즉, $\frac{\pi }{4}+c=n\pi$ ($n$은 정수)입니다. 여기서 $c$의 범위가 $0<c<\pi$라는 조건을 놓치기 쉽습니다. $c=n\pi -\frac{\pi }{4}$에서 이 범위에 들어가는 $c$를 찾으려면 $n=1$을 대입해야 해요. 그러면 $c=\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3}{4}\pi$가 됩니다.

step3. $y$절편을 이용하여 $a$ 구하기

함수가 $y=a\tan (\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\pi )$로 거의 완성되었어요. 그래프를 보면 $y$축과 만나는 점, 즉 $y$절편이 $(0,-3)$입니다. $x=0,y=-3$을 대입하면 $-3=a\tan (\frac{3}{4}\pi )$가 됩니다. $\tan (\frac{3}{4}\pi )=\tan (\pi -\frac{\pi }{4})=-\tan (\frac{\pi }{4})=-1$이므로, $-3=a\times (-1)$에서 $a=3$이 됩니다.

step4. 최종 정답 계산

구한 값들을 모두 곱해줍니다. $a\times b\times c=3\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{4}\pi =\frac{9}{16}\pi$가 됩니다.

step1. 주기 파악하여 $b$ 구하기

주기 $T=\pi -(-3\pi )=4\pi$

$\frac{\pi }{b}=4\pi (b>0)$

$b=\frac{1}{4}$

step2. $x$절편을 이용하여 $c$ 구하기

$y=a\tan (\frac{1}{4}x+c)$

$(\pi ,0)$ 대입: $a\tan (\frac{\pi }{4}+c)=0$

$\frac{\pi }{4}+c=n\pi$

$c=n\pi -\frac{\pi }{4}$

--- $0<c<\pi$이므로 $n=1$ 대입

$c=\frac{3}{4}\pi$

step3. $y$절편을 이용하여 $a$ 구하기

$(0,-3)$ 대입: $a\tan (\frac{3}{4}\pi )=-3$

$a\times (-1)=-3$

$a=3$

step4. 최종 정답 계산

$a\times b\times c=3\times \frac{1}{4}\times \frac{3}{4}\pi =\frac{9}{16}\pi$

$\therefore ①$