(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]

속도가 주어졌으니 적분하면 위치를 알 수 있겠구나! 두 점 사이의 거리는 위치의 차이에 절댓값을 씌운 것이니, 거리가 4가 되는 시각을 먼저 찾아야겠다. 그리고 '움직인 거리'를 물어봤으니 속도의 부호가 바뀌는 곳이 있는지 꼭 확인해야지!

step1. 속도를 적분하여 두 점 P, Q의 위치 함수 구하기

점 P의 시각 $t$ 에서의 위치를 $x_{1} (t)$ 라고 하면, $x_{1} (t) = \int (3 t^{2} + 4 t - 7) d t = t^{3} + 2 t^{2} - 7 t + C_{1}$ 입니다.

$t = 0$ 일 때 점 P는 A(1)에 있으므로 $x_{1} (0) = 1$ 이 되어 $C_{1} = 1$ 입니다. 따라서 $x_{1} (t) = t^{3} + 2 t^{2} - 7 t + 1$ 입니다.

마찬가지로 점 Q의 위치를 $x_{2} (t)$ 라고 하면, $x_{2} (t) = \int (2 t + 4) d t = t^{2} + 4 t + C_{2}$ 입니다.

$t = 0$ 일 때 점 Q는 B(8)에 있으므로 $x_{2} (0) = 8$ 이 되어 $C_{2} = 8$ 입니다. 따라서 $x_{2} (t) = t^{2} + 4 t + 8$ 입니다.

step2. 두 점 사이의 거리가 4가 되는 시각 $t$ 구하기

두 점 사이의 거리는 위치의 차이에 절댓값을 씌운 $| x_{1} (t) - x_{2} (t) |$ 입니다.

$x_{1} (t) - x_{2} (t) = (t^{3} + 2 t^{2} - 7 t + 1) - (t^{2} + 4 t + 8) = t^{3} + t^{2} - 11 t - 7$ 입니다.

거리가 4라고 해서 $x_{1} (t) - x_{2} (t) = 4$ 만 풀면 안 됩니다. 절댓값 안의 값이 4 또는 -4가 되는 경우를 모두 확인해야 해요!

첫 번째 경우: $t^{3} + t^{2} - 11 t - 7 = 4$

$t^{3} + t^{2} - 11 t - 11 = 0$

$t^{2} (t + 1) - 11 (t + 1) = 0 \Rightarrow (t^{2} - 11) (t + 1) = 0$

$t \geq 0$ 이므로 $t = \sqrt{11}$ 입니다.

두 번째 경우: $t^{3} + t^{2} - 11 t - 7 = - 4$

$t^{3} + t^{2} - 11 t - 3 = 0$

$t = 3$ 을 대입하면 $27 + 9 - 33 - 3 = 0$ 이 성립하므로 조립제법을 이용하면 $(t - 3) (t^{2} + 4 t + 1) = 0$ 입니다.

$t^{2} + 4 t + 1 = 0$ 의 근은 모두 음수이므로, $t \geq 0$ 인 해는 $t = 3$ 입니다.

'처음으로' 거리가 4가 되는 시각을 찾아야 하므로, $t = \sqrt{11}$ (약 3.3)과 $t = 3$ 중 더 작은 값인 $t = 3$ 이 우리가 찾는 시각입니다.

step3. $t = 0$ 부터 $t = 3$ 까지 점 P가 움직인 거리 계산하기

점 P가 움직인 거리를 구하려면 속도 $v_{1} (t)$ 의 부호가 바뀌는 지점을 찾아야 합니다.

$v_{1} (t) = 3 t^{2} + 4 t - 7 = (3 t + 7) (t - 1)$ 이므로, $t \geq 0$ 에서 속도가 0이 되는 시각은 $t = 1$ 입니다.

$0 \leq t < 1$ 에서는 $v_{1} (t) < 0$ (음의 방향 이동), $1 < t \leq 3$ 에서는 $v_{1} (t) > 0$ (양의 방향 이동)입니다.

따라서 움직인 거리는 $\int_{0}^{3} | v_{1} (t) | d t = \int_{0}^{1} (- v_{1} (t)) d t + \int_{1}^{3} v_{1} (t) d t$ 로 계산할 수 있습니다.

정적분을 직접 계산해도 되지만, 이미 구해둔 위치 함수 $x_{1} (t)$ 를 이용하면 더 쉽습니다.

$x_{1} (0) = 1$

$x_{1} (1) = 1 + 2 - 7 + 1 = - 3$

$x_{1} (3) = 27 + 18 - 21 + 1 = 25$

$0$ 부터 $1$ 까지 움직인 거리: $| x_{1} (1) - x_{1} (0) | = | - 3 - 1 | = 4$

$1$ 부터 $3$ 까지 움직인 거리: $| x_{1} (3) - x_{1} (1) | = | 25 - (- 3) | = 28$

총 움직인 거리는 $4 + 28 = 32$ 입니다.

step1. 위치 함수 구하기

$x_{1} (t) = \int (3 t^{2} + 4 t - 7) d t + 1 = t^{3} + 2 t^{2} - 7 t + 1$

$x_{2} (t) = \int (2 t + 4) d t + 8 = t^{2} + 4 t + 8$

step2. 거리가 4가 되는 시각 구하기

$| x_{1} (t) - x_{2} (t) | = | t^{3} + t^{2} - 11 t - 7 | = 4$

$t^{3} + t^{2} - 11 t - 7 = 4 \Rightarrow t^{3} + t^{2} - 11 t - 11 = 0 \Rightarrow (t^{2} - 11) (t + 1) = 0 \Rightarrow t = \sqrt{11}$

$t^{3} + t^{2} - 11 t - 7 = - 4 \Rightarrow t^{3} + t^{2} - 11 t - 3 = 0 \Rightarrow (t - 3) (t^{2} + 4 t + 1) = 0 \Rightarrow t = 3$

--- 처음으로 거리가 4가 되는 시각이므로 $t = 3$

step3. 점 P가 움직인 거리 계산

$v_{1} (t) = (3 t + 7) (t - 1) = 0 \Rightarrow t = 1$

$x_{1} (0) = 1, x_{1} (1) = - 3, x_{1} (3) = 25$

이동 거리 $= | x_{1} (1) - x_{1} (0) | + | x_{1} (3) - x_{1} (1) | = | - 4 | + | 28 | = 32$

$∴ 32$

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