(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]

구해야 하는 식은

a_{k} - b_{k}

이고, 주어진 식은

2 a_{k} - b_{k}

와

a_{k}

입니다.

(2 a_{k} - b_{k}) - a_{k} = a_{k} - b_{k}

라는 점을 눈치채면 아주 쉽게 풀 수 있어요!

step1. 구하고자 하는 식의 형태 만들기

우리가 구해야 하는 값은 $\sum_{k = 1}^{10} (a_{k} - b_{k})$ 입니다. 주어진 두 식의 일반항을 살펴보면, $(2 a_{k} - b_{k})$ 에서 $a_{k}$ 를 빼면 우리가 원하는 $(a_{k} - b_{k})$ 가 된다는 것을 알 수 있어요. 즉, $(2 a_{k} - b_{k}) - a_{k} = a_{k} - b_{k}$ 라는 관계를 이용하는 것이 이 문제의 키포인트입니다.

step2. 시그마의 성질을 적용하여 계산하기

이제 시그마의 성질을 적용해 볼까요? 시그마는 덧셈과 뺄셈에 대해 각각 분리해서 쓸 수 있어요. 따라서 다음과 같이 식을 변형할 수 있습니다.

$\sum_{k = 1}^{10} (a_{k} - b_{k}) = \sum_{k = 1}^{10} {(2 a_{k} - b_{k}) - a_{k}}$

$= \sum_{k = 1}^{10} (2 a_{k} - b_{k}) - \sum_{k = 1}^{10} a_{k}$

문제에서 $\sum_{k = 1}^{10} (2 a_{k} - b_{k}) = 34$ 이고, $\sum_{k = 1}^{10} a_{k} = 10$ 이라고 주어졌으므로, 이 값들을 그대로 대입만 하면 됩니다.

이때, $\sum_{k = 1}^{10} b_{k}$ 의 값을 따로 구해서 대입해도 되지만, 부호 계산에서 실수할 수 있으므로 식 전체를 통째로 빼는 방법이 훨씬 안전하고 빠릅니다.

계산하면 $34 - 10 = 24$ 가 됩니다.

step1. 구하고자 하는 식의 형태 만들기

$(a_{k} - b_{k}) = (2 a_{k} - b_{k}) - a_{k}$

step2. 시그마의 성질을 적용하여 계산하기

$\sum_{k = 1}^{10} (a_{k} - b_{k}) = \sum_{k = 1}^{10} {(2 a_{k} - b_{k}) - a_{k}}$

$= \sum_{k = 1}^{10} (2 a_{k} - b_{k}) - \sum_{k = 1}^{10} a_{k}$ --- 시그마의 성질 이용

$= 34 - 10$

$= 24$

$∴ 24$

(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 고3 수학 17번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	수학 Ⅰ · 수열 / 시그마의 성질
난이도	하

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