(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 5번 풀이 해설 [이해용/실전용]

등비수열 문제는 항들을 모두 첫째항

a

와 공비

r

로 표현해보는 것이 기본이에요.

\frac{a_{3} a_{8}}{a_{6}}

을

a

와

r

로 나타내어 약분하면 아주 간단한 식이 나올 거예요.

step1. 첫 번째 조건식 정리하기

등비수열의 첫째항을 $a$ , 공비를 $r$ 이라고 하면 일반항은 $a_{n} = a r^{n - 1}$ 이에요.

모든 항이 양수라고 했으므로 $a > 0$ , $r > 0$ 입니다.

첫 번째 조건식 $\frac{a_{3} a_{8}}{a_{6}} = 12$ 에 일반항 공식을 대입해보자고요.

$a_{3} = a r^{2}$ , $a_{8} = a r^{7}$ , $a_{6} = a r^{5}$ 이므로,

$\frac{a r^{2} \cdot a r^{7}}{a r^{5}} = \frac{a^{2} r^{9}}{a r^{5}} = a r^{4}$ 이 됩니다.

$a r^{4}$ 은 다름 아닌 제5항 $a_{5}$ 를 의미합니다.

따라서 $a_{5} = 12$ 라는 것을 알 수 있어요.

step2. 두 번째 조건식에서 공비 구하기

두 번째 조건식은 $a_{5} + a_{7} = 36$ 이에요.

step1에서 $a_{5} = 12$ 임을 구했으므로, 이를 대입하면

$12 + a_{7} = 36$ , 즉 $a_{7} = 24$ 가 됩니다.

이제 $a_{5}$ 와 $a_{7}$ 의 관계를 생각해보죠.

$a_{7} = a_{5} \cdot r^{2}$ 이므로, $24 = 12 \cdot r^{2}$ 에서 $r^{2} = 2$ 가 됩니다.

여기서 $r = \sqrt{2}$ 라고 구해도 되지만, 우리가 구해야 할 항의 차수를 보면 굳이 무리수로 만들지 않고 $r^{2} = 2$ 인 상태로 두는 것이 계산에 훨씬 유리해요.

step3. $a_{11}$ 의 값 계산하기

우리가 구해야 하는 값은 $a_{11}$ 이에요.

$a_{11}$ 을 우리가 알고 있는 $a_{5}$ 와 $r^{2}$ 을 이용하여 표현해볼게요.

$a_{11} = a r^{10} = (a r^{4}) \cdot r^{6} = a_{5} \cdot (r^{2})^{3}$ 입니다.

여기에 $a_{5} = 12$ 와 $r^{2} = 2$ 를 대입하면,

$a_{11} = 12 \cdot 2^{3} = 12 \cdot 8 = 96$ 이 됩니다.

따라서 정답은 96입니다.

step1. 첫 번째 조건식 정리하기

$a_{n} = a r^{n - 1}$

$\frac{a_{3} a_{8}}{a_{6}} = \frac{a r^{2} \cdot a r^{7}}{a r^{5}} = a r^{4} = 12$

--- $a r^{4} = a_{5}$ 이므로

$a_{5} = 12$

step2. 두 번째 조건식에서 공비 구하기

$a_{5} + a_{7} = 36$

$12 + a_{7} = 36 ⟹ a_{7} = 24$

--- $a_{7} = a_{5} r^{2}$ 이므로

$12 r^{2} = 24 ⟹ r^{2} = 2$

step3. $a_{11}$ 의 값 계산하기

$a_{11} = a r^{10} = a r^{4} \cdot r^{6} = a_{5} \cdot (r^{2})^{3}$

$a_{11} = 12 \cdot 2^{3} = 12 \cdot 8 = 96$

$∴ ⑤$

수학여정 - 문제 분석 리포트