수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 교점의 $x$좌표 구하기

먼저 두 곡선이 어디서 만나는지 알아보기 위해 두 식을 같다고 놓고 방정식을 풀어볼게요.

$3x^3-7x^2=-x^2$

우변의 항을 좌변으로 이항해서 정리하면,

$3x^3-6x^2=0$ 이 됩니다.

공통인수인 $3x^2$으로 묶어주면,

$3x^2(x-2)=0$ 이 되죠.

따라서 $x=0$ 또는 $x=2$에서 두 곡선이 만난다는 것을 알 수 있어요.

이렇게 구한 교점의 $x$좌표가 바로 정적분의 위끝과 아래끝, 즉 적분 구간이 됩니다.

step2. 구간 내에서 위아래 함수 판별하기

이제 $x$가 $0$부터 $2$ 사이일 때, 두 곡선 중 어느 것이 더 위쪽에 있는지 확인해야 해요.

가장 쉬운 방법은 구간 안의 만만한 숫자 하나를 대입해 보는 것입니다. $x=1$을 대입해 볼까요?

첫 번째 곡선: $y=3(1{)}^3-7(1{)}^2=3-7=-4$

두 번째 곡선: $y=-(1{)}^2=-1$

$-1$이 $-4$보다 크죠? 즉, 구간 $(0,2)$에서는 $y=-x^2$ 그래프가 $y=3x^3-7x^2$ 그래프보다 위쪽에 있다는 뜻이에요.

위아래를 확인하지 않고 아무 식에서나 빼서 적분하면 넓이가 음수로 나오는 실수를 할 수 있으니 꼭 대소 비교를 해야 해요.

step3. 정적분으로 넓이 계산하기

이제 넓이를 구하기 위한 정적분 식을 세워볼게요. 넓이는 항상 위쪽 식에서 아래쪽 식을 뺀 것을 적분해야 합니다.

$S={\int }_0^2\{-x^2-(3x^3-7x^2)\}dx$

괄호를 풀고 식을 예쁘게 정리하면,

$S={\int }_0^2(-3x^3+6x^2)dx$ 가 됩니다.

이제 정적분 계산을 해볼까요?

$S={[-\frac{3}{4}{x}^4+2x^3]}_0^2$

$x=2$를 대입한 값에서 $x=0$을 대입한 값을 빼주면 됩니다.

$S=(-\frac{3}{4}\times 2^4+2\times 2^3)-0$

$S=(-\frac{3}{4}\times 16+2\times 8)$

$S=-12+16=4$

따라서 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $4$가 됩니다.

step1. 교점의 $x$좌표 구하기

$3x^3-7x^2=-x^2$

$3x^3-6x^2=0$

$3x^2(x-2)=0$

$x=0,2$

step2. 구간 내에서 위아래 함수 판별하기

$x=1$일 때, $3(1{)}^3-7(1{)}^2=-4$, $-(1{)}^2=-1$

$-1>-4$   --- 구간 $(0,2)$에서 $y=-x^2$이 위쪽에 있으므로

step3. 정적분으로 넓이 계산하기

$S={\int }_0^2\{-x^2-(3x^3-7x^2)\}dx$

$={\int }_0^2(-3x^3+6x^2)dx$

$={[-\frac{3}{4}{x}^4+2x^3]}_0^2$

$=-\frac{3}{4}(16)+2(8)$

$=-12+16=4$

$\therefore 4$