수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $f^{\prime }(x)$를 부정적분하기

주어진 도함수 $f^{\prime }(x)=6x^2-2f(1)x$를 $x$에 대해 부정적분해 볼게요. $f(1)$을 변수로 착각하여 적분하기 쉽지만, $f(1)$은 상수 취급해야 합니다. 따라서 적분하면 $f(x)=\int (6x^2-2f(1)x)dx=2x^3-f(1)x^2+C$ 가 됩니다. 여기서 $C$는 적분상수예요.

step2. 적분상수 $C$ 구하기

문제에서 $f(0)=4$라는 조건이 주어졌죠? 방금 구한 $f(x)$ 식에 $x=0$을 대입해 봅시다. $f(0)=2(0{)}^3-f(1)(0{)}^2+C=C$ 가 되므로, $C=4$임을 알 수 있어요. 이제 함수는 $f(x)=2x^3-f(1)x^2+4$ 가 되었습니다.

step3. $f(1)$의 값 구하기

함수식에 $f(1)$이 포함되어 있을 때는, 양변에 $x=1$을 대입하여 $f(1)$에 대한 방정식을 만들어 푸는 것이 핵심 아이디어입니다. $f(x)=2x^3-f(1)x^2+4$ 에 $x=1$을 대입하면, $f(1)=2(1{)}^3-f(1)(1{)}^2+4$ 가 됩니다. 정리하면 $f(1)=2-f(1)+4$ 이고, $f(1)=6-f(1)$ 이 되죠. $-f(1)$을 좌변으로 넘기면 $2f(1)=6$ 이므로, $f(1)=3$ 이 됩니다.

step4. $f(2)$ 계산하기

$f(1)=3$을 원래 식에 대입하면 함수 $f(x)$가 완벽하게 구해집니다. $f(x)=2x^3-3x^2+4$ 가 되죠. 이제 우리가 최종적으로 구해야 하는 $f(2)$의 값을 계산해 볼까요? $x=2$를 대입하면 $f(2)=2(2{)}^3-3(2{)}^2+4=16-12+4=8$ 이 됩니다. 따라서 정답은 8입니다.

step1. $f^{\prime }(x)$를 부정적분하여 $f(x)$의 식 세우기

$f(x)=\int (6x^2-2f(1)x)dx=2x^3-f(1)x^2+C$

step2. $f(0)=4$를 이용하여 적분상수 구하기

$f(0)=C=4$   --- $f(0)=4$이므로

$\therefore f(x)=2x^3-f(1)x^2+4$

step3. $x=1$을 대입하여 $f(1)$ 구하기

$f(1)=2-f(1)+4$   --- 양변에 $x=1$ 대입

$2f(1)=6⟹f(1)=3$

step4. $f(2)$ 계산하기

$f(x)=2x^3-3x^2+4$

$f(2)=2(8)-3(4)+4=16-12+4=8$

$\therefore 8$