수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 극한식의 의미 파악하기

먼저 $x=1$일 때 함숫값 $f(1)$을 계산해볼까요?

$f(1)=2(1{)}^2-1=1$입니다.

어라, 주어진 극한식의 분자에 있는 $1$이 바로 $f(1)$과 같네요!

따라서 주어진 식은 다음과 같이 바꿔 쓸 수 있어요.

${lim}_{x\to 1}\frac{f(x)-1}{x-1}={lim}_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$

이것은 미분계수의 정의에 따라 $f^{\prime }(1)$을 의미합니다.

분자의 상수가 $f(1)$과 같은지 확인하지 않고 무작정 미분만 하면 실수를 할 수 있으니 꼭 확인하는 습관을 들이세요.

step2. 도함수 구하기

이제 $f^{\prime }(1)$을 구하기 위해 먼저 도함수 $f^{\prime }(x)$를 구해봅시다.

$f(x)=2x^2-x$를 미분하면,

$f^{\prime }(x)=4x-1$이 됩니다.

step3. 미분계수 계산하기

구해둔 도함수에 $x=1$을 대입하여 $f^{\prime }(1)$을 계산해볼게요.

$f^{\prime }(1)=4(1)-1=3$

따라서 우리가 구하고자 하는 극한값은 3입니다.

(참고로, $f(x)$를 직접 대입하여 $\frac{2x^2-x-1}{x-1}=\frac{(2x+1)(x-1)}{x-1}=2x+1$로 약분한 뒤 $x=1$을 대입해도 똑같이 3을 얻을 수 있답니다.)

step1. 극한식의 의미 파악

$f(1)=2(1{)}^2-1=1$

${lim}_{x\to 1}\frac{f(x)-1}{x-1}={lim}_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\prime }(1)$

step2. 도함수 구하기

$f^{\prime }(x)=4x-1$

step3. 미분계수 계산하기

$f^{\prime }(1)=4(1)-1=3$

$\therefore ③$