문제에서 '접선이 어떤 점을 지난다'는 조건이 두 개나 주어졌네요. 특히 점 에서의 접선이 을 지난다는 것에 주목해 볼까요? 두 점의 좌표가 으로 똑같아요! 이는 접선이 축과 평행하다는 뜻이고, 여기서 이라는 엄청난 힌트를 얻을 수 있답니다. 이 힌트를 쓰면 복잡한 삼차함수 식을 아주 간단하게 세울 수 있어요.
step1. 점 에서의 접선 조건 분석
곡선 위의 점 에서의 접선이 점 을 지난다고 했어요. 이 접선은 두 점 과 을 지나는 직선이므로, 기울기를 구해보면 이 됩니다.
접선의 기울기가 이라는 것은 임을 의미합니다.
또한 점 은 곡선 위의 점이므로 이라는 것도 알 수 있죠.
step2. 의 식 세우기
이고 이라는 두 가지 조건을 얻었어요.
로 두고 풀면 미지수가 3개나 되어 계산이 너무 복잡해지니 피해야 해요.
대신, 가 최고차항의 계수가 인 삼차함수이므로, 인수정리를 활용하면 식을 아주 예쁘게 세울 수 있어요. 은 을 인수로 가져야 하므로, 나머지 한 근을 라고 두면 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
step3. 점 에서의 접선 조건 적용
이제 미지수 를 찾기 위해 남은 조건을 사용할 차례예요. 점 에서의 접선이 점 을 지난다고 했죠.
먼저 점 에서의 접선의 방정식을 세워볼게요.
이 접선이 을 지나므로 을 대입하면,
가 됩니다.
이제 우리가 세워둔 식을 이용해 와 를 에 대한 식으로 나타내어 대입해 볼게요.
를 구하기 위해 곱의 미분법을 쓰면,
이 값들을 아까 만든 식 에 대입합니다.
따라서 이 됩니다.
step4. 의 값 계산
값을 구했으니 의 식이 완벽하게 완성되었어요!
이제 문제에서 구하라고 한 의 값을 계산해 볼까요?
정답은 35가 됩니다.
step1. 점 에서의 접선 조건 분석
접선이 을 지나므로 기울기
step2. 의 식 세우기
--- 을 이용
step3. 점 에서의 접선 조건 적용
에서의 접선:
대입:
대입:
step4. 의 값 계산
