(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]

함수가

x = - 1

과

x = 3

에서 극값을 가진다는 것은, 도함수

f^{'} (x) = 0

의 두 근이

- 1

과

3

이라는 뜻이에요. 이를 이용하면 미지의 상수

a, b

를 쉽게 구할 수 있습니다.

step1. 도함수 $f^{'} (x)$ 를 구하고, 극값 조건을 이용해 $a, b$ 의 값을 찾습니다.

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + 1$ 을 미분하면 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ 가 됩니다.

함수가 $x = - 1$ 과 $x = 3$ 에서 극값을 가지므로, $f^{'} (- 1) = 0$ 이고 $f^{'} (3) = 0$ 이어야 합니다.

즉, 이차방정식 $f^{'} (x) = 0$ 의 두 근이 $- 1$ 과 $3$ 이라는 뜻이죠.

최고차항의 계수가 3이므로 $f^{'} (x) = 3 (x + 1) (x - 3)$ 으로 식을 세울 수 있어요.

이를 전개하면 $f^{'} (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 3) = 3 x^{2} - 6 x - 9$ 가 됩니다.

원래 구했던 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ 와 계수를 비교하면,

$2 a = - 6$ 에서 $a = - 3$ ,

$b = - 9$ 가 됩니다.

step2. 완성된 함수 $f (x)$ 의 식을 적습니다.

구한 $a, b$ 의 값을 원래 함수에 대입하면,

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$ 이 됩니다.

step3. $x = - 1$ 을 대입하여 극댓값을 계산합니다.

문제에서 $x = - 1$ 에서 극대라고 했으므로, 우리가 구해야 할 극댓값은 $f (- 1)$ 입니다.

극댓값을 구하라고 했는데 실수로 $x = 3$ 을 대입하여 극솟값을 구하지 않도록 조심하세요.

$f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 (- 1)^{2} - 9 (- 1) + 1$

$= - 1 - 3 + 9 + 1 = 6$

따라서 극댓값은 6입니다.

step1. 도함수 $f^{'} (x)$ 를 구하고, 극값 조건을 이용해 $a, b$ 의 값을 찾습니다.

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$

--- $x = - 1, 3$ 에서 극값을 가지므로

$f^{'} (x) = 3 (x + 1) (x - 3) = 3 x^{2} - 6 x - 9$

계수 비교: $2 a = - 6 ⟹ a = - 3$ , $b = - 9$

step2. 완성된 함수 $f (x)$ 의 식을 적습니다.

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 1$

step3. $x = - 1$ 을 대입하여 극댓값을 계산합니다.

--- $x = - 1$ 에서 극대이므로

$f (- 1) = - 1 - 3 + 9 + 1 = 6$

$∴ ③$

수학여정 - 문제 분석 리포트