(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 9번 풀이 해설 [이해용/실전용]

부등식의 왼쪽은

\cos

, 오른쪽은

\sin

이네요. 크기를 비교하려면 함수를 하나로 맞춰야겠죠?

\sin

을

\cos

으로 바꾸는 여각 공식을 떠올려보는 것이 첫걸음입니다.

step1. 삼각함수 통일하기

우변의 $\sin \frac{π}{7}$ 을 $\cos$ 으로 바꾸어 봅시다.

여각 공식 $\sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)$ 를 적용하면,

$\sin \frac{π}{7} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{7})$

괄호 안을 통분해서 계산하면,

$\frac{π}{2} - \frac{π}{7} = \frac{7 π}{14} - \frac{2 π}{14} = \frac{5 π}{14}$ 가 됩니다.

따라서 주어진 부등식은 $\cos x \leq \cos \frac{5 π}{14}$ 로 간단해집니다.

서로 다른 삼각함수가 주어졌을 때는 $\frac{π}{2} - θ$ 공식을 사용하여 하나의 삼각함수로 통일하는 것이 중요합니다.

step2. 부등식의 해 구하기

이제 $0 \leq x \leq 2 π$ 범위에서 $\cos x \leq \cos \frac{5 π}{14}$ 를 풀어볼게요.

먼저 방정식 $\cos x = \cos \frac{5 π}{14}$ 의 해를 찾아야 합니다.

하나의 해는 당연히 $x = \frac{5 π}{14}$ 입니다.

코사인 그래프는 $x = π$ 에 대해 대칭이므로, 다른 하나의 교점은 $2 π - \frac{5 π}{14}$ 가 됨을 놓치기 쉽습니다.

대칭성을 이용해 다른 해를 구하면,

$2 π - \frac{5 π}{14} = \frac{28 π}{14} - \frac{5 π}{14} = \frac{23 π}{14}$ 입니다.

우리가 찾는 것은 $\cos x$ 가 $\cos \frac{5 π}{14}$ 보다 작거나 같은 구간입니다.

코사인 그래프를 머릿속에 그려보면, $x = \frac{5 π}{14}$ 부터 $x = \frac{23 π}{14}$ 까지의 구간에서 그래프가 아래로 볼록하게 내려가 있으므로 이 부등식을 만족합니다.

따라서 해의 범위는 $\frac{5 π}{14} \leq x \leq \frac{23 π}{14}$ 가 됩니다.

step3. $β - α$ 계산하기

step2에서 구한 해의 범위가 $α \leq x \leq β$ 이므로,

$α = \frac{5 π}{14}$ , $β = \frac{23 π}{14}$ 입니다.

이제 문제에서 요구한 $β - α$ 를 계산해 봅시다.

$β - α = \frac{23 π}{14} - \frac{5 π}{14} = \frac{18 π}{14}$

분모와 분자를 2로 약분하면,

$\frac{18 π}{14} = \frac{9 π}{7}$ 이 됩니다.

따라서 정답은 ③번입니다.

step1. 삼각함수 통일

$\sin \frac{π}{7} = \cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{7}) = \cos \frac{5 π}{14}$

$∴ \cos x \leq \cos \frac{5 π}{14}$

step2. 부등식의 해 구하기

$0 \leq x \leq 2 π$ 에서 $\cos x = \cos \frac{5 π}{14}$ 의 해는

$x = \frac{5 π}{14}$ 또는 $x = 2 π - \frac{5 π}{14} = \frac{23 π}{14}$ --- 대칭성 이용

$\cos x \leq \cos \frac{5 π}{14}$ 이므로

$\frac{5 π}{14} \leq x \leq \frac{23 π}{14}$

step3. $β - α$ 계산

$α = \frac{5 π}{14}, β = \frac{23 π}{14}$

$β - α = \frac{23 π}{14} - \frac{5 π}{14} = \frac{18 π}{14} = \frac{9}{7} π$

$∴ ③$

수학여정 - 문제 분석 리포트