수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 진수 조건 구하기

로그가 정의되려면 진수가 항상 양수여야 해요.

좌변의 진수에서 $x-1>0$ 이므로 $x>1$ 이에요.

우변의 진수에서 $13+2x>0$ 이므로 $x>-\frac{13}{2}$ 이에요.

두 조건을 모두 만족해야 하므로, 공통 범위인 $x>1$이 이 방정식의 해가 될 수 있는 조건이 됩니다. 나중에 구한 답이 이 범위에 있는지 꼭 확인해야 해요.

step2. 로그의 밑 통일하기

좌변은 밑이 2, 우변은 밑이 4예요. 진수끼리 비교하려면 밑을 같게 만들어야 하죠.

밑을 4로 통일하는 것이 계산에 편리해요. ${\log }_{a}b={\log }_{a^2}{b}^2$ 성질을 이용하면 분수 없이 깔끔하게 정리할 수 있거든요.

좌변의 밑과 진수를 각각 제곱하면 ${\log }_2(x-1)={\log }_{2^2}(x-1{)}^2={\log }_4(x-1{)}^2$ 이 됩니다.

이제 방정식은 ${\log }_4(x-1{)}^2={\log }_4(13+2x)$ 가 되었어요.

step3. 진수 비교 및 이차방정식 풀이

양변의 밑이 4로 같아졌으니, 진수끼리 같다고 놓을 수 있어요.

$(x-1{)}^2=13+2x$

좌변을 전개하면 $x^2-2x+1=13+2x$ 가 됩니다.

우변의 항들을 좌변으로 이항하여 정리하면,

$x^2-4x-12=0$ 이 되죠.

이 이차방정식을 인수분해하면 $(x-6)(x+2)=0$ 이므로,

$x=6$ 또는 $x=-2$ 가 나옵니다.

하지만 단계 1에서 구한 진수 조건이 $x>1$ 이었죠?

따라서 $x=-2$는 버리고, 조건을 만족하는 $x=6$만이 최종 정답이 됩니다.

step1. 진수 조건

$x-1>0⟹x>1$

$13+2x>0⟹x>-\frac{13}{2}$

$\therefore x>1$

step2. 밑 통일

${\log }_2(x-1)={\log }_4(13+2x)$

${\log }_4(x-1{)}^2={\log }_4(13+2x)$   --- 밑을 4로 통일

step3. 진수 비교 및 이차방정식 풀이

$(x-1{)}^2=13+2x$

$x^2-2x+1=13+2x$

$x^2-4x-12=0$

$(x-6)(x+2)=0$

$x=6$ 또는 $x=-2$

$x>1$이므로 $x=6$

$\therefore 6$