(2024학년도) 2023년 9월 모의평가 수학 7번 풀이 해설 [이해용/실전용]

구해야 하는 식이 분수 형태일 때는 먼저 통분을 해보는 것이 좋아요. 통분을 하면

\frac{3 a + 2 b}{6 a b}

가 되는데, 분자는 문제에 주어진

3 a + 2 b

와 같고 분모는

a b

의 6배임을 알 수 있죠. 이제 주어진 로그 식들의 밑을 같게 만들어 대입만 하면 됩니다.

step1. 구하고자 하는 식 통분하기

먼저 우리가 구해야 하는 식 $\frac{1}{3 a} + \frac{1}{2 b}$ 를 통분해 볼게요.

분모를 $3 a \times 2 b = 6 a b$ 로 맞추면,

$\frac{1}{3 a} + \frac{1}{2 b} = \frac{2 b}{6 a b} + \frac{3 a}{6 a b} = \frac{3 a + 2 b}{6 a b}$ 가 됩니다.

구해야 하는 식을 통분하면 문제에서 주어진 $3 a + 2 b$ 와 $a b$ 를 바로 활용할 수 있는 형태가 됩니다.

step2. 주어진 조건의 로그 밑 통일하기

이제 문제에서 주어진 두 식을 살펴볼게요.

$3 a + 2 b = \log_{3} 32$ 이고, $a b = \log_{9} 2$ 입니다.

두 로그의 밑이 각각 3과 9로 다르기 때문에, 그대로 대입하면 약분하기가 어려워요. 밑을 같게 만들어주는 과정이 꼭 필요합니다.

밑을 3으로 통일해 봅시다.

$32 = 2^{5}$ 이므로, $3 a + 2 b = \log_{3} (2^{5}) = 5 \log_{3} 2$ 로 정리할 수 있어요.

그리고 $9 = 3^{2}$ 이므로, $a b = \log_{3^{2}} 2 = \frac{1}{2} \log_{3} 2$ 가 됩니다.

step3. 식에 대입하여 값 계산하기

step1에서 만든 식 $\frac{3 a + 2 b}{6 a b}$ 에 step2에서 구한 값들을 대입해 볼게요.

분자: $3 a + 2 b = 5 \log_{3} 2$

분모: $6 a b = 6 \times (\frac{1}{2} \log_{3} 2) = 3 \log_{3} 2$

따라서, $\frac{3 a + 2 b}{6 a b} = \frac{5 \log_{3} 2}{3 \log_{3} 2}$ 가 됩니다.

분모와 분자에 공통으로 있는 $\log_{3} 2$ 를 약분하면, 최종적으로 $\frac{5}{3}$ 가 나옵니다.

step1. 구하고자 하는 식 통분하기

$\frac{1}{3 a} + \frac{1}{2 b} = \frac{3 a + 2 b}{6 a b}$

step2. 주어진 조건의 로그 밑 통일하기

$3 a + 2 b = \log_{3} 32 = 5 \log_{3} 2$

$a b = \log_{9} 2 = \log_{3^{2}} 2 = \frac{1}{2} \log_{3} 2$

step3. 식에 대입하여 값 계산하기

$\frac{3 a + 2 b}{6 a b} = \frac{5 \log_{3} 2}{6 \times \frac{1}{2} \log_{3} 2}$

$= \frac{5 \log_{3} 2}{3 \log_{3} 2}$

$= \frac{5}{3}$

$∴ ④$

수학여정 - 문제 분석 리포트