수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $a_2$를 기준으로 $a_4$ 표현하기

계산을 편하게 하기 위해 $a_2=k$라고 해볼게요. $k$는 자연수입니다.

$k$가 홀수인지 짝수인지에 따라 $a_3$를 구하는 식이 달라지므로 경우를 나누어야 해요.

(1) $k$가 홀수인 경우:

$a_3=k+1$이 됩니다. 홀수에 1을 더했으니 $a_3$는 무조건 짝수가 되겠죠?

$a_3$가 짝수이므로, $a_4=\frac{1}{2}{a}_3=\frac{1}{2}(k+1)$이 됩니다.

(2) $k$가 짝수인 경우:

$a_3=\frac{1}{2}k$가 됩니다. 그런데 여기서 $\frac{1}{2}k$가 홀수인지 짝수인지 아직 알 수 없어요. 그래서 다시 두 가지로 나누어 줍니다.

- $a_3$가 홀수인 경우: $a_4=a_3+1=\frac{1}{2}k+1$

- $a_3$가 짝수인 경우: $a_4=\frac{1}{2}{a}_3=\frac{1}{4}k$

step2. $a_2+a_4=40$을 이용하여 $a_2$ 값 구하기

앞서 나눈 세 가지 경우에 대해 $a_2+a_4=40$ 방정식을 풀어볼게요.

(1) $k$가 홀수일 때:

$k+\frac{1}{2}(k+1)=40$

양변에 2를 곱하면 $2k+k+1=80⟹3k=79$가 됩니다.

$k=\frac{79}{3}$인데, 이는 자연수가 아니므로 이 경우는 탈락입니다.

(2) $k$가 짝수이고 $a_3$가 홀수일 때:

$k+(\frac{1}{2}k+1)=40$

$\frac{3}{2}k=39⟹k=26$이 됩니다.

$k=26$이면 $a_3=\frac{1}{2}\times 26=13$이 되죠? 13은 홀수이므로 우리가 가정한 조건에 완벽히 맞아요. 따라서 $a_2=26$은 정답 후보입니다.

(3) $k$가 짝수이고 $a_3$가 짝수일 때:

$k+\frac{1}{4}k=40$

$\frac{5}{4}k=40⟹k=32$가 됩니다.

$k=32$이면 $a_3=\frac{1}{2}\times 32=16$이 됩니다. 16은 짝수이므로 역시 조건에 맞아요. 따라서 $a_2=32$도 정답 후보입니다.

step3. $a_1$ 역추적하여 합 구하기

이제 $a_2$가 26, 32일 때 각각 $a_1$을 구해봅시다.

구한 $a_1$이 처음에 가정한 홀수/짝수 조건에 맞는지 꼭 확인해야 해요!

먼저 $a_2=26$인 경우를 볼게요.

- $a_1$이 홀수라면: $a_1+1=26⟹a_1=25$ (25는 홀수가 맞으므로 통과!)

$-$a₁$이짝수라면:\frac{1}{2}{a}_1=26⟹a_1=52$ (52는 짝수가 맞으므로 통과!)

다음으로 $a_2=32$인 경우를 볼게요.

- $a_1$이 홀수라면: $a_1+1=32⟹a_1=31$ (31은 홀수가 맞으므로 통과!)

$-$a₁$이짝수라면:\frac{1}{2}{a}_1=32⟹a_1=64$ (64는 짝수가 맞으므로 통과!)

따라서 가능한 $a_1$의 값은 25, 52, 31, 64입니다.

모든 $a_1$의 값의 합은 $25+52+31+64=172$가 됩니다.

step1. $a_2$를 기준으로 $a_4$ 표현

$a_2=k$라 하자.

(i) $k$가 홀수: $a_3=k+1$ (짝수) $⟹a_4=\frac{1}{2}(k+1)$

(ii) $k$가 짝수: $a_3=\frac{1}{2}k$

--- $a_3$의 홀짝에 따라 분류

- $a_3$가 홀수: $a_4=\frac{1}{2}k+1$

- $a_3$가 짝수: $a_4=\frac{1}{4}k$

step2. $a_2+a_4=40$ 풀이

   --- i) $k+\frac{1}{2}(k+1)=40⟹3k=79$ (자연수 아님, 모순

(ii-1) $k+\frac{1}{2}k+1=40⟹\frac{3}{2}k=39⟹k=26$

--- $a_3=13$ (홀수 조건 만족)

(ii-2) $k+\frac{1}{4}k=40⟹\frac{5}{4}k=40⟹k=32$

--- $a_3=16$ (짝수 조건 만족)

$\therefore a_2=26$ 또는 $32$

step3. $a_1$ 역추적

$a_2=26$일 때:

$a_1+1=26⟹a_1=25$   --- 홀수 O

$\frac{1}{2}{a}_1=26⟹a_1=52$   --- 짝수 O

$a_2=32$일 때:

$a_1+1=32⟹a_1=31$   --- 홀수 O

$\frac{1}{2}{a}_1=32⟹a_1=64$   --- 짝수 O

$\therefore \sum a_1=25+52+31+64=172$