수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $S_k$를 $a$와 $d$로 나타내기

등차수열의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라고 합시다.

모든 항이 자연수이려면 첫째항 $a$는 자연수($a\ge 1$)여야 하고, 공차 $d$는 $0$ 이상의 정수($d\ge 0$)여야 합니다.

제$k$항까지의 합 $S_k$는 공식에 의해 다음과 같이 정리할 수 있어요.

$S_k=\frac{k\{2a+(k-1)d\}}{2}=ak+\frac{d}{2}(k^2-k)$

step2. ${\sum }_{k=1}^7{S}_k=644$를 이용하여 관계식 구하기

이제 주어진 조건 ${\sum }_{k=1}^7{S}_k=644$에 $S_k$를 대입해 봅시다.

${\sum }_{k=1}^7\{ak+\frac{d}{2}(k^2-k)\}=a{\sum }_{k=1}^{7}k+\frac{d}{2}{\sum }_{k=1}^7(k^2-k)$

여기서 시그마 공식을 사용하면,

${\sum }_{k=1}^{7}k=\frac{7\times 8}{2}=28$

${\sum }_{k=1}^7{k}^2=\frac{7\times 8\times 15}{6}=140$

따라서 ${\sum }_{k=1}^7(k^2-k)=140-28=112$가 됩니다.

이를 원래 식에 대입하면,

$28a+\frac{d}{2}\times 112=28a+56d=644$

양변을 28로 나누면 아주 간단한 관계식을 얻을 수 있습니다.

$a+2d=23$

step3. 자연수 조건을 이용하여 $d$의 범위 찾기

우리가 구한 $a+2d=23$에서 $a=23-2d$로 나타낼 수 있습니다.

여기서 '모든 항이 자연수'라는 조건을 놓치기 쉽습니다.

첫째항 $a$가 자연수이므로 $a\ge 1$이어야 해요.

$23-2d\ge 1$

$2d\le 22$

$d\le 11$

또한 $d\ge 0$이므로, 가능한 $d$는 $0$부터 $11$까지의 정수입니다.

step4. 13의 배수 조건을 이용하여 $d$ 확정 및 $a_2$ 구하기

이제 마지막 조건인 '$a_7$이 13의 배수'를 사용할 차례입니다.

$a_7=a+6d$ 인데, 앞서 구한 $a=23-2d$를 대입해 봅시다.

$a_7=(23-2d)+6d=23+4d$

$d$는 $0$부터 $11$까지의 정수이므로, 하나씩 대입하여 $23+4d$가 13의 배수가 되는지 확인해 봅니다.

- $d=0$일 때: $23$ (X)

- $d=1$일 때: $27$ (X)

- $d=2$일 때: $31$ (X)

- $d=3$일 때: $35$ (X)

- $d=4$일 때: $23+16=39=13\times 3$ (O)

$d=4$일 때 39가 되어 13의 배수가 됩니다! (이후 $d=11$까지 확인해봐도 13의 배수는 나오지 않아요.)

따라서 공차 $d=4$이고, 첫째항 $a=23-2(4)=15$입니다.

우리가 구하고자 하는 값은 제2항 $a_2$이므로,

$a_2=a+d=15+4=19$가 됩니다.

step1. $S_k$를 $a$와 $d$로 나타내기

$S_k=\frac{k(2a+(k-1)d)}{2}=ak+\frac{d}{2}(k^2-k)$

step2. ${\sum }_{k=1}^7{S}_k=644$를 이용하여 관계식 구하기

${\sum }_{k=1}^7{S}_k=a{\sum }_{k=1}^{7}k+\frac{d}{2}{\sum }_{k=1}^7(k^2-k)$

--- $\sum k=28,\sum k^2=140$이므로

$=28a+\frac{d}{2}(140-28)=28a+56d=644$

$\therefore a+2d=23$

step3. 자연수 조건을 이용하여 $d$의 범위 찾기

$a=23-2d\ge 1$   --- 모든 항이 자연수이므로

$\therefore 0\le d\le 11$   --- $d$는 정수

step4. 13의 배수 조건을 이용하여 $d$ 확정 및 $a_2$ 구하기

$a_7=a+6d=(23-2d)+6d=23+4d$

$23+4d$가 13의 배수이고 $0\le d\le 11$이므로

$d=4$일 때 $a_7=39=13\times 3$으로 성립.

$\therefore a=15,d=4$

$a_2=a+d=15+4=19$

$\therefore 19$