수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. (가) 구하기

먼저 $△ABD$에서 사인법칙을 적용해 볼게요. $△ABD$의 외접원의 반지름이 $R_2$이므로,

$\frac{\overline{BD}}{\sin (\angle DAB)}=2R_2$ 가 성립해요.

문제에서 $\angle DAB=\frac{2}{3}\pi$ 라고 주어졌으니 대입해 보면,

$\frac{\overline{BD}}{\sin (\frac{2}{3}\pi )}=2R_2$ 가 됩니다.

$\sin (\frac{2}{3}\pi )=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 이므로,

$\frac{\overline{BD}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2R_2⟹\frac{2}{\sqrt{3}}\overline{BD}=2R_2$ 가 되죠.

양변을 2로 나누면 $R_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\overline{BD}=\frac{\sqrt{3}}{3}\overline{BD}$ 가 됩니다.

따라서 (가)에 들어갈 알맞은 수는 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 이고, $p=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 입니다.

step2. (나) 구하기

이번에는 $△ABD$에서 코사인법칙을 적용해 봅시다.

${\overline{BD}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AD}}^2-2·\overline{AB}·\overline{AD}·\cos (\angle DAB)$ 가 성립하죠.

주어진 길이 $\overline{AB}=2,\overline{AD}=1$ 과 각도 $\angle DAB=\frac{2}{3}\pi$ 를 대입하면,

${\overline{BD}}^2=2^2+1^2-2·2·1·\cos (\frac{2}{3}\pi )$ 가 됩니다.

이 식을 문제에 주어진 형태인 ${\overline{BD}}^2=2^2+1^2-(나)$ 와 비교해 보세요.

여기서 부호를 조심해야 해요. $-(나)$ 부분이 $-2·2·1·\cos (\frac{2}{3}\pi )$ 와 같으므로, $(나)=2·2·1·\cos (\frac{2}{3}\pi )$ 가 됩니다.

$\cos (\frac{2}{3}\pi )=-\frac{1}{2}$ 이므로 계산해 보면,

$(나)=4·(-\frac{1}{2})=-2$ 가 됩니다.

따라서 $q=-2$ 입니다.

step3. (다) 구하기

이제 $R_1\times R_2$ 를 구해볼 차례예요.

먼저 step2에서 구한 식을 마저 계산해서 ${\overline{BD}}^2$ 의 값을 구해둘게요.

${\overline{BD}}^2=2^2+1^2-(-2)=4+1+2=7$ 입니다.

문제에서 $R_1=\frac{\sqrt{2}}{2}\overline{BD}$ 라고 했고, step1에서 $R_2=\frac{\sqrt{3}}{3}\overline{BD}$ 라고 구했죠?

두 식을 곱해보면,

$R_1\times R_2=(\frac{\sqrt{2}}{2}\overline{BD})\times (\frac{\sqrt{3}}{3}\overline{BD})=\frac{\sqrt{6}}{6}{\overline{BD}}^2$ 이 됩니다.

여기에 방금 구한 ${\overline{BD}}^2=7$ 을 대입하면,

$R_1\times R_2=\frac{\sqrt{6}}{6}\times 7=\frac{7\sqrt{6}}{6}$ 이 됩니다.

따라서 $(다)=\frac{7\sqrt{6}}{6}$ 이고, $r=\frac{7\sqrt{6}}{6}$ 입니다.

step4. 최종 정답 계산하기

마지막으로 우리가 구해야 할 값은 $9\times (p\times q\times r{)}^2$ 입니다.

먼저 괄호 안의 $p\times q\times r$ 부터 계산해 볼게요.

$p\times q\times r=\frac{\sqrt{3}}{3}\times (-2)\times \frac{7\sqrt{6}}{6}$

$=-\frac{14\sqrt{18}}{18}$

$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$ 이므로,

$=-\frac{14·3\sqrt{2}}{18}=-\frac{42\sqrt{2}}{18}=-\frac{7\sqrt{2}}{3}$ 이 됩니다.

이제 이 값을 제곱해 줍니다.

$(p\times q\times r{)}^2=(-\frac{7\sqrt{2}}{3}{)}^2=\frac{49·2}{9}=\frac{98}{9}$

마지막으로 9를 곱해주면,

$9\times \frac{98}{9}=98$ 이 됩니다.

따라서 최종 정답은 98입니다.

step1. (가) 구하기

$△ABD$에서 사인법칙에 의해

$\frac{\overline{BD}}{\sin (\frac{2}{3}\pi )}=2R_2$

$R_2=\frac{1}{2\sin (\frac{2}{3}\pi )}\overline{BD}=\frac{1}{2·\frac{\sqrt{3}}{2}}\overline{BD}=\frac{\sqrt{3}}{3}\overline{BD}$

$\therefore p=\frac{\sqrt{3}}{3}$

step2. (나) 구하기

$△ABD$에서 코사인법칙에 의해

${\overline{BD}}^2=2^2+1^2-2·2·1·\cos (\frac{2}{3}\pi )$

문제의 식 ${\overline{BD}}^2=2^2+1^2-(나)$ 와 비교하면

$q=2·2·1·\cos (\frac{2}{3}\pi )=4·(-\frac{1}{2})=-2$

step3. (다) 구하기

${\overline{BD}}^2=4+1-(-2)=7$

$R_1\times R_2=(\frac{\sqrt{2}}{2}\overline{BD})\times (\frac{\sqrt{3}}{3}\overline{BD})=\frac{\sqrt{6}}{6}{\overline{BD}}^2$

$r=\frac{\sqrt{6}}{6}\times 7=\frac{7\sqrt{6}}{6}$

step4. 최종 정답 계산하기

$p\times q\times r=\frac{\sqrt{3}}{3}\times (-2)\times \frac{7\sqrt{6}}{6}=-\frac{14\sqrt{18}}{18}=-\frac{7\sqrt{2}}{3}$

$9\times (p\times q\times r{)}^2=9\times (-\frac{7\sqrt{2}}{3}{)}^2=9\times \frac{98}{9}=98$

$\therefore 98$