2023년 9월 학력평가 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]

직선

l

의 기울기는 2라고 주어졌지만,

y

절편을 모르는 상태예요. 이때 현

\overset{―}{A B}

의 길이가

2 \sqrt{5}

라는 조건이 핵심 열쇠가 됩니다. 원의 중심에서 현에 수선을 내리면 직각삼각형이 만들어지므로, 피타고라스 정리를 써서 중심에서 직선까지의 거리를 알아낼 수 있어요. 이 거리를 이용해 직선

l

의 식을 완벽하게 찾는 것이 첫 번째 목표입니다!

step1. 원의 중심에서 직선 $l$ 까지의 거리 구하기

원의 방정식이 $x^{2} + y^{2} = 10$ 이므로 중심은 원점 O $(0, 0)$ 이고 반지름의 길이는 $r = \sqrt{10}$ 입니다.

원의 중심 O에서 현 AB에 수선을 내리면 현을 수직이등분하므로, 직각삼각형을 만들어 피타고라스 정리를 적용할 수 있습니다.

현의 절반 길이는 $\frac{\overset{―}{A B}}{2} = \frac{2 \sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$ 입니다.

중심 O에서 직선 $l$ 까지의 거리를 $d$ 라고 하면,

$r^{2} = d^{2} + (\frac{\overset{―}{A B}}{2})^{2}$

$10 = d^{2} + (\sqrt{5})^{2}$

$10 = d^{2} + 5$

$d^{2} = 5$

따라서 $d = \sqrt{5}$ 가 됩니다.

step2. 직선 $l$ 의 방정식 완성하기

직선 $l$ 은 기울기가 2이므로 방정식을 $y = 2 x + k$ , 즉 $2 x - y + k = 0$ 으로 둘 수 있습니다.

원점 $(0, 0)$ 에서 이 직선까지의 거리가 $\sqrt{5}$ 이므로 점과 직선 사이의 거리 공식을 사용하면,

$d = \frac{| 2 (0) - 0 + k |}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2}}} = \frac{| k |}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

$| k | = 5$

따라서 $k = 5$ 또는 $k = - 5$ 입니다.

여기서 $k$ 의 값을 하나로 결정해야 합니다. 그림을 보면 직선 $l$ 은 $y$ 축과 양의 부분에서 만나고 있으므로 $y$ 절편인 $k$ 는 양수여야 합니다.

그러므로 $k = 5$ 이고, 직선 $l$ 의 방정식은 $y = 2 x + 5$ 가 됩니다.

step3. 점 A의 좌표 구하기

직선 $l$ 과 원이 만나는 점 A, B의 좌표를 구하기 위해 두 방정식을 연립합니다.

$y = 2 x + 5$ 를 $x^{2} + y^{2} = 10$ 에 대입하면,

$x^{2} + (2 x + 5)^{2} = 10$

$x^{2} + 4 x^{2} + 20 x + 25 = 10$

$5 x^{2} + 20 x + 15 = 0$

양변을 5로 나누면 $x^{2} + 4 x + 3 = 0$

$(x + 1) (x + 3) = 0$

따라서 $x = - 1$ 또는 $x = - 3$ 입니다.

점 A는 제2사분면 위의 점이므로 $x$ 좌표가 $- 1$ 이어야 합니다. (만약 $x = - 3$ 이면 $y = - 1$ 이 되어 제3사분면의 점 B가 됩니다.)

$x = - 1$ 을 $y = 2 x + 5$ 에 대입하면 $y = 3$ 입니다.

따라서 점 A의 좌표는 $(- 1, 3)$ 입니다.

step4. 점 C의 좌표 구하기

점 C는 직선 OA와 원이 만나는 점 중 A가 아닌 점입니다.

직선 OA는 원점을 지나는 직선이므로, 이 직선과 원의 두 교점 A와 C는 원점에 대하여 서로 대칭입니다.

따라서 점 A $(- 1, 3)$ 을 원점에 대하여 대칭이동하면 점 C의 좌표를 얻을 수 있습니다.

점 C의 좌표는 $(1, - 3)$ 이 됩니다.

step5. 점 D의 좌표 구하기 및 최종 계산

점 C $(1, - 3)$ 를 지나고 $x$ 축과 평행한 직선은 $y$ 좌표가 항상 $- 3$ 이므로 직선의 방정식은 $y = - 3$ 입니다.

점 D는 이 직선 $y = - 3$ 과 직선 $l$ ( $y = 2 x + 5$ )이 만나는 점입니다.

$y = - 3$ 을 $y = 2 x + 5$ 에 대입하여 $x$ 좌표를 구합니다.

$- 3 = 2 x + 5$

$2 x = - 8$

$x = - 4$

따라서 점 D의 좌표는 $(- 4, - 3)$ 이므로 $a = - 4, b = - 3$ 입니다.

최종적으로 $a + b = - 4 + (- 3) = - 7$ 입니다.

step1. 원의 중심에서 직선 $l$ 까지의 거리 구하기

원 $x^{2} + y^{2} = 10$ 의 중심 $(0, 0)$ , 반지름 $r = \sqrt{10}$

중심에서 직선 $l$ 까지의 거리 $d$ 라 하면

$d^{2} + (\frac{2 \sqrt{5}}{2})^{2} = (\sqrt{10})^{2}$

$d^{2} + 5 = 10 \Rightarrow d = \sqrt{5}$

step2. 직선 $l$ 의 방정식 완성하기

$l : 2 x - y + k = 0$ --- $k > 0$

$\frac{| k |}{\sqrt{2^{2} + (- 1)^{2}}} = \sqrt{5}$

$| k | = 5 \Rightarrow k = 5$

$∴ l : y = 2 x + 5$

step3. 점 A의 좌표 구하기

$x^{2} + (2 x + 5)^{2} = 10$

$5 x^{2} + 20 x + 15 = 0 \Rightarrow x^{2} + 4 x + 3 = 0$

$(x + 1) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = - 1$ 또는 $x = - 3$

A는 제2사분면 점이므로 $x = - 1, y = 3$

$∴ A (- 1, 3)$

step4. 점 C의 좌표 구하기

C는 A의 원점 대칭점

$∴ C (1, - 3)$

step5. 점 D의 좌표 구하기 및 최종 계산

C를 지나고 $x$ 축에 평행한 직선: $y = - 3$

$l$ 과의 교점 D: $- 3 = 2 x + 5 \Rightarrow 2 x = - 8 \Rightarrow x = - 4$

$∴ D (- 4, - 3)$

$a = - 4, b = - 3$

$∴ a + b = - 7$

2023년 9월 학력평가 고1 수학 19번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 원의 방정식 / 직선의 방정식 / 현의 길이
난이도	중

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