수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 나눗셈 관계식과 차수 조건 확인

먼저 문제에 주어진 나눗셈 상황을 항등식으로 표현해 볼게요.

$(x-2)P(x)-x^2=\{P(x)-x\}Q(x)+P(x)-3x$

여기서 나누는 식은 $P(x)-x$이고, 나머지는 $P(x)-3x$예요.

다항식의 나눗셈에서는 항상 '나머지의 차수 < 나누는 식의 차수'가 성립해야 해요.

따라서 다음 부등식을 만족해야 합니다.

$\mathrm{deg}(P(x)-3x)<\mathrm{deg}(P(x)-x)$

step2. $P(x)$의 차수와 계수 결정

이제 $P(x)$가 몇 차식인지 추론해 볼까요?

만약 $P(x)$가 2차 이상의 다항식이라면, $P(x)-3x$와 $P(x)-x$ 모두 최고차항이 $P(x)$의 최고차항과 같아져서 두 식의 차수가 똑같아져요. 이는 차수 조건에 모순이 되죠.

따라서 $P(x)$는 반드시 1차 이하의 다항식이어야 한다는 점을 놓치기 쉽습니다.

$P(x)$를 1차식인 $ax+b$라고 가정해 볼게요.

그러면 나누는 식과 나머지는 다음과 같이 정리됩니다.

나누는 식: $P(x)-x=(a-1)x+b$

나머지: $P(x)-3x=(a-3)x+b$

나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 작으려면, 나머지가 상수항이 되어야 해요. 즉, $x$의 계수인 $a-3$이 $0$이 되어야 하죠.

$a-3=0⟹a=3$

(만약 $a=1$이라면 나누는 식이 상수항이 되고 나머지가 1차식이 되어 조건에 맞지 않아요.)

결과적으로 $P(x)=3x+b$ 형태임을 알 수 있습니다.

step3. $Q(x)$ 구하기

이제 알아낸 $P(x)=3x+b$를 처음 세웠던 항등식에 대입해 볼게요.

$(x-2)(3x+b)-x^2=(2x+b)Q(x)+b$

좌변을 전개해서 정리해 봅시다.

$3x^2+(b-6)x-2b-x^2=2x^2+(b-6)x-3b$

따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.

$2x^2+(b-6)x-3b=(2x+b)Q(x)$

우변이 $2x+b$를 인수로 가지고 있으니, 좌변도 $2x+b$로 나누어떨어져야 해요. 좌변을 인수분해해 보면,

$2x^2+(b-6)x-3b=(2x+b)(x-3)$이 됩니다.

결국 $(2x+b)(x-3)=(2x+b)Q(x)$가 되고, 문제에서 $P(x)-x=2x+b\ne 0$이라고 했으므로 양변을 나눌 수 있어요.

따라서 $Q(x)=x-3$이 됩니다.

step4. $P(30)$ 계산

마지막으로 문제의 두 번째 조건을 사용할 차례예요.

'$P(x)$를 $Q(x)$로 나눈 나머지가 10이다'라고 했죠?

$Q(x)=x-3$이므로, 나머지 정리에 의해 $P(3)=10$이 됩니다.

우리가 구한 $P(x)=3x+b$에 $x=3$을 대입해 볼게요.

$P(3)=3(3)+b=9+b=10$

따라서 $b=1$이 됩니다.

이제 $P(x)$가 완벽하게 구해졌어요.

$P(x)=3x+1$

우리가 최종적으로 구해야 하는 값은 $P(30)$이므로,

$P(30)=3(30)+1=91$이 됩니다.

step1. 나눗셈 관계식과 차수 조건

$(x-2)P(x)-x^2=\{P(x)-x\}Q(x)+P(x)-3x$

--- 나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 작아야 하므로

$\mathrm{deg}(P(x)-3x)<\mathrm{deg}(P(x)-x)$

step2. $P(x)$의 차수와 계수 결정

$\mathrm{deg}(P(x))\ge 2$이면 $\mathrm{deg}(P(x)-3x)=\mathrm{deg}(P(x)-x)$이므로 모순.

따라서 $P(x)$는 1차 이하의 다항식.

$P(x)=ax+b$라 하면, $(a-3)x+b$의 차수가 $(a-1)x+b$의 차수보다 작아야 함.

$a-3=0⟹a=3$

$\therefore P(x)=3x+b$

step3. $Q(x)$ 구하기

$(x-2)(3x+b)-x^2=(2x+b)Q(x)+b$

$2x^2+(b-6)x-3b=(2x+b)Q(x)$

$(2x+b)(x-3)=(2x+b)Q(x)$

$\therefore Q(x)=x-3$

step4. $P(30)$ 계산

--- $P(x)$를 $Q(x)$로 나눈 나머지가 10이므로

$P(3)=10$

$3(3)+b=10⟹b=1$

$P(x)=3x+1$

$\therefore P(30)=91$