수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 점 A, B의 좌표 구하기

먼저 함수 $f(x)=a{x}^2$와 직선 $y=4a$가 만나는 점 A, B의 좌표를 구해볼게요.

두 식을 연립하면 $a{x}^2=4a$가 됩니다.

문제에서 $a>2$라고 했으므로 양변을 $a$로 나눌 수 있어요.

$x^2=4$ 이므로 $x=2$ 또는 $x=-2$가 나옵니다.

점 A의 $x$좌표가 점 B의 $x$좌표보다 작다고 했으니, $A(-2,4a)$, $B(2,4a)$가 됩니다.

step2. 점 C, D의 좌표 구하기

이번엔 함수 $g(x)=-a(x-a{)}^2+a^2$와 직선 $y=ax$가 만나는 점 C, D의 좌표를 구해봅시다.

두 식을 연립하면 $-a(x-a{)}^2+a^2=ax$가 됩니다.

이 식을 전개할 때 부호 실수를 하기 쉬우니 차근차근 전개해야 해요.

$-a(x^2-2ax+a^2)+a^2=ax$

$-a{x}^2+2a^{2}x-a^3+a^2=ax$

양변을 $-a$로 나누어 정리해볼게요.

$x^2-2ax+a^2-a=-x$

$x^2-(2a-1)x+a^2-a=0$

여기서 상수항 $a^2-a$를 $a(a-1)$로 묶어주면 인수분해가 보입니다.

$x^2-(2a-1)x+a(a-1)=0$

$(x-a)\{x-(a-1)\}=0$

따라서 $x=a-1$ 또는 $x=a$가 됩니다.

점 C의 $x$좌표가 점 D의 $x$좌표보다 작으므로 $x_C=a-1$, $x_D=a$입니다.

이 점들은 직선 $y=ax$ 위에 있으므로 $y$좌표를 구하면 $C(a-1,a^2-a)$, $D(a,a^2)$가 됩니다.

step3. 사각형 ACDB의 넓이 구하기

이제 네 점의 좌표를 모두 알았으니 사각형 ACDB의 넓이를 구해볼 차례입니다.

사각형을 대각선 AD를 그어 $△ABD$와 $△ACD$로 나누어 넓이를 구하는 것이 가장 효율적입니다.

1) $△ABD$의 넓이:

선분 AB는 $y=4a$ 위에 있어 $x$축과 평행하므로 밑변으로 삼기 아주 좋습니다.

밑변의 길이 $AB=2-(-2)=4$입니다.

높이는 점 A, B의 $y$좌표($4a$)와 점 D의 $y$좌표($a^2$)의 차이이므로 $4a-a^2$이 됩니다.

따라서 $△ABD$의 넓이 $=\frac{1}{2}\times 4\times (4a-a^2)=8a-2a^2$ 입니다.

2) $△ACD$의 넓이:

선분 CD를 밑변으로 삼아볼게요.

$CD$의 길이 $=\sqrt{\{a-(a-1){\}}^2+\{a^2-(a^2-a){\}}^2}=\sqrt{1^2+a^2}=\sqrt{a^2+1}$ 입니다.

높이는 점 A$(-2,4a)$에서 직선 CD(즉, $ax-y=0$)까지의 거리 $d$가 됩니다.

점과 직선 사이의 거리 공식을 쓰면,

$d=\frac{|a(-2)-4a|}{\sqrt{a^2+(-1{)}^2}}=\frac{|-6a|}{\sqrt{a^2+1}}$

$a>0$이므로 $|-6a|=6a$가 되어 $d=\frac{6a}{\sqrt{a^2+1}}$ 입니다.

따라서 $△ACD$의 넓이 $=\frac{1}{2}\times \sqrt{a^2+1}\times \frac{6a}{\sqrt{a^2+1}}=3a$ 입니다.

결과적으로 사각형 ACDB의 넓이 $S(a)$는 두 삼각형의 넓이의 합이므로,

$S(a)=(8a-2a^2)+3a=-2a^2+11a$ 가 됩니다.

step4. 넓이의 최댓값 구하기

넓이 $S(a)=-2a^2+11a$ 의 최댓값을 구하기 위해 완전제곱식으로 변형해봅시다.

$S(a)=-2(a^2-\frac{11}{2}a)$

$=-2(a-\frac{11}{4}{)}^2+2\times (\frac{11}{4}{)}^2$

$=-2(a-\frac{11}{4}{)}^2+\frac{121}{8}$

문제에서 주어진 $a$의 범위가 $2<a<4$ 인데, $a=\frac{11}{4}=2.75$는 이 범위 안에 잘 들어갑니다.

따라서 $a=\frac{11}{4}$일 때 넓이의 최댓값 $M=\frac{121}{8}$을 가집니다.

우리가 구해야 하는 값은 $8\times M$ 이므로,

$8\times \frac{121}{8}=121$ 이 됩니다.

step1. 점 A, B의 좌표

$a{x}^2=4a\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

$A(-2,4a),B(2,4a)$

step2. 점 C, D의 좌표

$-a(x-a{)}^2+a^2=ax$

$-a{x}^2+2a^{2}x-a^3+a^2-ax=0$

$x^2-(2a-1)x+a(a-1)=0$

$(x-a)(x-(a-1))=0\Rightarrow x=a-1,a$

$C(a-1,a^2-a),D(a,a^2)$

step3. 사각형 ACDB의 넓이

--- 대각선 AD로 분할하여 $△ABD+△ACD$ 계산

$△ABD=\frac{1}{2}\times 4\times (4a-a^2)=8a-2a^2$

$CD=\sqrt{1^2+a^2}=\sqrt{a^2+1}$

--- 점 A에서 직선 $ax-y=0$까지의 거리

$h=\frac{|-2a-4a|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{6a}{\sqrt{a^2+1}}$

$△ACD=\frac{1}{2}\times \sqrt{a^2+1}\times \frac{6a}{\sqrt{a^2+1}}=3a$

$S(a)=(8a-2a^2)+3a=-2a^2+11a$

step4. 최댓값 계산

$S(a)=-2(a-\frac{11}{4}{)}^2+\frac{121}{8}$

$M=\frac{121}{8}$

$\therefore 8M=121$