2023년 9월 학력평가 수학 11번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이차함수의 꼭짓점과 원의 중심이 같다고 했으니, 각각의 좌표를 구해서 서로 같다고 놓으면

a

와

b

에 대한 식을 얻을 수 있겠네요! 차근차근 식을 변형해 볼까요?

step1. 이차함수의 꼭짓점 구하기

먼저 이차함수 $y = x^{2} - 4 x + a$ 의 꼭짓점을 구해볼게요.

식을 완전제곱식으로 만들기 위해 $x$ 의 계수인 $- 4$ 의 절반의 제곱, 즉 $4$ 를 더하고 빼줍니다.

$y = (x^{2} - 4 x + 4) - 4 + a$

$y = (x - 2)^{2} + a - 4$

따라서 이 이차함수의 꼭짓점 $A$ 의 좌표는 $(2, a - 4)$ 가 됩니다.

step2. 원의 중심 구하기

다음으로 원 $x^{2} + y^{2} + b x + 4 y - 17 = 0$ 의 중심을 구해볼게요.

$x$ 는 $x$ 끼리, $y$ 는 $y$ 끼리 모아서 완전제곱식을 만들어 줍니다.

$x^{2} + b x + {(\frac{b}{2})}^{2} - {(\frac{b}{2})}^{2} + y^{2} + 4 y + 4 - 4 - 17 = 0$

${(x + \frac{b}{2})}^{2} + (y + 2)^{2} = 21 + \frac{b^{2}}{4}$

여기서 중심의 좌표를 읽을 때 괄호 안의 부호를 반대로 읽어야 한다는 점을 놓치기 쉬워요.

따라서 원의 중심의 좌표는 $(- \frac{b}{2}, - 2)$ 가 됩니다.

step3. $a + b$ 의 값 계산하기

문제에서 꼭짓점 $A$ 와 원의 중심이 일치한다고 했어요.

두 점이 일치하려면 $x$ 좌표는 $x$ 좌표끼리, $y$ 좌표는 $y$ 좌표끼리 같아야 해요.

$x$ 좌표를 비교하면: $2 = - \frac{b}{2}$ 이므로 $b = - 4$ 가 됩니다.

$y$ 좌표를 비교하면: $a - 4 = - 2$ 이므로 $a = 2$ 가 됩니다.

우리가 구하고 싶은 값은 $a + b$ 이므로,

$a + b = 2 + (- 4) = - 2$ 가 됩니다.

step1. 이차함수의 꼭짓점 구하기

$y = x^{2} - 4 x + a = (x - 2)^{2} + a - 4$

꼭짓점 $A (2, a - 4)$

step2. 원의 중심 구하기

$x^{2} + b x + y^{2} + 4 y - 17 = 0$

$(x + \frac{b}{2})^{2} + (y + 2)^{2} = 17 + \frac{b^{2}}{4} + 4$

중심 $(- \frac{b}{2}, - 2)$

step3. $a + b$ 의 값 계산하기

--- 두 점이 일치하므로

$2 = - \frac{b}{2} ⟹ b = - 4$

$a - 4 = - 2 ⟹ a = 2$

$∴ a + b = 2 + (- 4) = - 2$

수학여정 - 문제 분석 리포트