수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. $P(x)=0$의 근 설정하기

먼저 $P(x)=0$의 근을 문자로 놓아볼게요.

다항식 $P(x)$의 계수 $a,b,c$가 모두 실수이므로, 허근을 가진다면 반드시 켤레복소수 쌍으로 가져야 해요.

따라서 $P(x)=0$의 한 실근을 $\alpha$, 두 허근을 $z$와 $\overline{z}$라고 설정할 수 있어요.

조건 (가)에서 두 허근의 곱이 $5$라고 했으니, $z\overline{z}=5$라는 식을 하나 얻을 수 있습니다.

step2. $P(3x-1)=0$의 근 표현하기

이제 $P(3x-1)=0$의 근을 찾아볼 차례예요.

$P(X)=0$이 성립하려면 괄호 안의 $X$가 원래 방정식의 근인 $\alpha ,z,\overline{z}$가 되어야 한다는 것이 포인트입니다.

즉, $3x-1=\alpha$ 또는 $3x-1=z$ 또는 $3x-1=\overline{z}$가 되어야 해요.

이 식들을 $x$에 대해 정리하면,

$x=\frac{\alpha +1}{3},\frac{z+1}{3},\frac{\overline{z}+1}{3}$

이렇게 세 개가 바로 $P(3x-1)=0$의 근이 됩니다.

step3. 조건 (나)를 이용하여 원래 근 찾기

조건 (나)를 보면 $P(3x-1)=0$의 한 근이 $0$이라고 했어요.

우리가 step2에서 구한 세 근 중에서 누가 $0$이 될 수 있을까요?

$z$와 $\overline{z}$는 허수이므로, $\frac{z+1}{3}$과 $\frac{\overline{z}+1}{3}$도 당연히 허수예요.

따라서 유일한 실근인 $\frac{\alpha +1}{3}$이 $0$이 되어야만 합니다.

$\frac{\alpha +1}{3}=0⟹\alpha =-1$

$P(3x-1)=0$의 근이 $0$이라고 해서 원래 근 $\alpha =0$이라고 착각하기 쉽습니다. $x=0$을 대입했을 때 괄호 안의 값인 $-1$이 원래 방정식의 근이 되는 거예요!

또한, 조건 (나)에서 두 허근의 합이 $2$라고 했어요.

$\frac{z+1}{3}+\frac{\overline{z}+1}{3}=2$

양변에 $3$을 곱하고 정리해볼까요?

$z+\overline{z}+2=6⟹z+\overline{z}=4$

이제 원래 방정식의 두 허근의 합($4$)과 곱($5$)을 모두 알아냈습니다!

step4. $P(x)$ 완성 및 $a+b+c$ 계산하기

두 허근 $z,\overline{z}$를 근으로 갖는 이차방정식은 합이 $4$, 곱이 $5$이므로 $x^2-4x+5=0$이 됩니다.

그리고 실근이 $\alpha =-1$이므로, $P(x)$는 다음과 같이 인수분해된 형태로 쓸 수 있어요.

$P(x)=(x+1)(x^2-4x+5)$

우리가 구해야 하는 것은 $a+b+c$의 값이죠.

$P(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$에 $x=1$을 대입해보면,

$P(1)=1+a+b+c$가 됩니다.

따라서 $a+b+c=P(1)-1$로 쉽게 구할 수 있어요.

위에서 찾은 $P(x)$ 식에 $x=1$을 대입하면,

$P(1)=(1+1)(1^2-4·1+5)=2\times 2=4$

최종적으로 $a+b+c=4-1=3$이 됩니다.

step1. $P(x)=0$의 근 설정

$P(x)=0$의 근을 $\alpha$ (실수), $z,\overline{z}$ (허수)라 하자.

$z\overline{z}=5$

step2. $P(3x-1)=0$의 근 표현

$3x-1=\alpha ,z,\overline{z}$

$x=\frac{\alpha +1}{3},\frac{z+1}{3},\frac{\overline{z}+1}{3}$

step3. 조건 (나) 적용

--- 실근이 0이므로

$\frac{\alpha +1}{3}=0⟹\alpha =-1$

--- 두 허근의 합이 2이므로

$\frac{z+1}{3}+\frac{\overline{z}+1}{3}=2$

$z+\overline{z}+2=6⟹z+\overline{z}=4$

step4. $P(x)$ 완성 및 계산

$P(x)=(x+1)(x^2-4x+5)$

$P(1)=1+a+b+c=2\times 2=4$

$\therefore a+b+c=3$