2023년 9월 학력평가 수학 8번 풀이 해설 [이해용/실전용]

이차방정식의 두 근

α, β

에 대한 대칭식(알파와 베타의 자리를 바꿔도 같은 식)의 값을 구하라고 할 때는, 직접 근을 구하는 것보다 '두 근의 합'과 '두 근의 곱'을 이용하는 것이 훨씬 빠르고 정확합니다.

step1. 두 근의 합과 곱 구하기

이차방정식 $x^{2} + 2 x + 7 = 0$ 의 두 근이 $α, β$ 라고 주어졌어요. 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하면 두 근의 합과 곱을 쉽게 구할 수 있습니다.

$α + β = - \frac{2}{1} = - 2$

$α β = \frac{7}{1} = 7$

step2. 주어진 식 변형하기

우리가 구해야 하는 식은 $α^{2} + α β + β^{2}$ 입니다. 이 식을 방금 구한 합( $α + β$ )과 곱( $α β$ )의 형태로 바꿔볼게요.

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$ 라는 곱셈공식의 변형을 떠올려보세요.

여기에 $α β$ 가 하나 더 더해져 있으므로,

$α^{2} + α β + β^{2} = (α^{2} + β^{2}) + α β = {(α + β)^{2} - 2 α β} + α β = (α + β)^{2} - α β$ 가 됩니다.

이때 $(α + β)^{2} - 2 α β$ 로만 계산해서 $α β$ 를 더하는 것을 빠뜨리지 않도록 조심해야 해요.

step3. 값 대입하여 계산하기

이제 step1에서 구한 $α + β = - 2$ 와 $α β = 7$ 을 step2에서 만든 식에 대입해 줍니다.

$(α + β)^{2} - α β = (- 2)^{2} - 7 = 4 - 7 = - 3$

따라서 구하는 값은 -3이 됩니다.

step1. 두 근의 합과 곱 구하기

$α + β = - 2$

$α β = 7$ --- 근과 계수의 관계 이용

step2. 주어진 식 변형하기

$α^{2} + α β + β^{2} = (α + β)^{2} - α β$ --- 곱셈공식의 변형

step3. 값 대입하여 계산하기

$(- 2)^{2} - 7 = 4 - 7 = - 3$

$∴ - 3$

수학여정 - 문제 분석 리포트