2023년 9월 학력평가 수학 6번 풀이 해설 [이해용/실전용]

(x + 1)^{2}

으로 나누어떨어진다고 해서

x = - 1

만 대입하면

a - b + 2 = 0

이라는 식 하나만 나와서 당황할 수 있어요. 미지수가 2개니까 식이 하나 더 필요하죠. 이럴 때는 직접 나눗셈 식을

A = B Q

형태로 적어보는 것이 좋아요. 3차식을 2차식으로 나누었으니 몫은 1차식이 될 거라는 점을 이용하면 아주 쉽게 풀 수 있답니다.

step1. 몫 설정하기

나누어지는 다항식 $x^{3} + a x^{2} + b x + 3$ 은 3차식이고, 나누는 식 $(x + 1)^{2}$ 은 2차식이에요.

따라서 몫은 1차식이 되어야 합니다.

최고차항인 $x^{3}$ 의 계수가 1이므로, 몫의 1차항은 $x$ 로 시작해야 해요.

그러므로 몫을 $x + c$ ( $c$ 는 상수)라고 둘 수 있습니다.

step2. 항등식 세우기

나누어떨어진다는 것은 나머지가 0이라는 뜻이므로, 다음과 같이 항등식을 세울 수 있어요.

$x^{3} + a x^{2} + b x + 3 = (x + 1)^{2} (x + c)$

step3. 계수 비교하여 $a, b$ 구하기

이제 우변을 전개해서 좌변과 비교해 볼까요?

먼저 $(x + 1)^{2}$ 을 전개하면 $x^{2} + 2 x + 1$ 이 됩니다.

우변: $(x^{2} + 2 x + 1) (x + c)$

$= x^{3} + c x^{2} + 2 x^{2} + 2 c x + x + c$

$= x^{3} + (c + 2) x^{2} + (2 c + 1) x + c$

이 식이 좌변인 $x^{3} + a x^{2} + b x + 3$ 과 완전히 같아야 해요.

상수항부터 비교하면 $c$ 의 값을 바로 알아낼 수 있는데, 이를 놓치고 복잡하게 연립방정식을 풀려고 하면 실수가 나올 수 있어요.

상수항을 비교하면 $c = 3$ 입니다.

이제 $c = 3$ 을 대입하여 2차항과 1차항의 계수를 비교해 볼게요.

2차항 계수: $a = c + 2 = 3 + 2 = 5$

1차항 계수: $b = 2 c + 1 = 2 (3) + 1 = 7$

따라서 $a = 5, b = 7$ 입니다.

step4. 최종 답 계산하기

우리가 구해야 하는 값은 $a + b$ 이므로,

$a + b = 5 + 7 = 12$ 가 됩니다.

step1. , 2. 몫 설정 및 항등식 세우기

$x^{3} + a x^{2} + b x + 3 = (x + 1)^{2} (x + c)$ --- 몫을 1차식 $x + c$ 로 설정

step3. 계수 비교하여 $a, b$ 구하기

우변을 전개하면,

$(x^{2} + 2 x + 1) (x + c) = x^{3} + (c + 2) x^{2} + (2 c + 1) x + c$

양변의 계수를 비교하면,

상수항: $c = 3$

2차항: $a = c + 2 = 5$

1차항: $b = 2 c + 1 = 7$

step4. 최종 답 계산하기

$a + b = 5 + 7 = 12$

$∴ 12$

수학여정 - 문제 분석 리포트