수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 좌표평면 도입 및 꼭짓점 좌표 설정

점 $B$를 원점 $(0,0)$으로 둡니다.

$\angle B={90}^{\circ }$이고 $\overline{AB}=4,\overline{BC}=8$이므로,

점 $A$의 좌표는 $(0,4)$, 점 $C$의 좌표는 $(8,0)$이 됩니다.

사다리꼴에서 $\angle A=\angle B={90}^{\circ }$이므로 선분 $AD$와 $BC$는 평행합니다.

따라서 점 $D$의 $y$좌표는 점 $A$와 같은 $4$입니다.

점 $D$의 $x$좌표를 $a$ ($a>0$)라고 하면, $D(a,4)$로 둘 수 있습니다.

step2. 점 $P$의 좌표 구하기

점 $P$는 선분 $AD$를 $2:1$로 내분하는 점입니다.

점 $A(0,4)$와 점 $D(a,4)$의 $y$좌표가 같으므로 $x$좌표만 내분하면 됩니다.

$x$좌표: $\frac{2\times a+1\times 0}{2+1}=\frac{2a}{3}$

따라서 점 $P$의 좌표는 $(\frac{2a}{3},4)$입니다.

내분점 공식을 적용할 때 비율 $2:1$과 점 $A,D$의 순서를 헷갈리지 않도록 주의하세요.

step3. 수직 조건을 이용하여 $a$ 구하기

직선 $AC$와 직선 $BP$가 서로 수직이라고 했습니다.

좌표평면에서 두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 -1입니다.

직선 $AC$의 기울기: $\frac{0-4}{8-0}=-\frac{1}{2}$

직선 $BP$의 기울기: $\frac{4-0}{\frac{2a}{3}-0}=\frac{4}{\frac{2a}{3}}=\frac{12}{2a}=\frac{6}{a}$

두 기울기의 곱이 $-1$이어야 하므로,

$(-\frac{1}{2})\times \frac{6}{a}=-1$

$-\frac{3}{a}=-1⟹a=3$

따라서 점 $D$의 좌표는 $(3,4)$가 되고, 선분 $AD$의 길이는 $3$입니다.

step4. 교점 $Q$의 좌표 구하기

이제 두 직선의 방정식을 세워 교점 $Q$를 찾습니다.

직선 $AC$: $y$절편이 $4$이고 기울기가 $-\frac{1}{2}$이므로 $y=-\frac{1}{2}x+4$

직선 $BP$: 원점을 지나고 기울기가 $\frac{6}{3}=2$이므로 $y=2x$

두 식을 연립합니다.

$2x=-\frac{1}{2}x+4$

양변에 $2$를 곱하면 $4x=-x+8$

$5x=8⟹x=\frac{8}{5}$

$y=2\times \frac{8}{5}=\frac{16}{5}$

따라서 점 $Q$의 좌표는 $(\frac{8}{5},\frac{16}{5})$입니다.

step5. 삼각형 $AQD$의 넓이 구하기

삼각형 $AQD$의 넓이를 구하기 위해 선분 $AD$를 밑변으로 봅니다.

밑변의 길이 $AD=3$입니다.

높이는 점 $Q$에서 선분 $AD$에 내린 수선의 길이입니다.

선분 $AD$는 $y=4$ 위에 있고, 점 $Q$의 $y$좌표는 $\frac{16}{5}$이므로,

높이 $h=4-\frac{16}{5}=\frac{20}{5}-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}$입니다.

따라서 삼각형 $AQD$의 넓이는

$\frac{1}{2}\times (\text{밑변})\times (\text{높이})=\frac{1}{2}\times 3\times \frac{4}{5}=\frac{6}{5}$입니다.

step1. 좌표 설정

$B(0,0)$으로 두면 $A(0,4),C(8,0)$

$AD\parallel BC$이므로 $D(a,4)$로 설정

step2. 점 $P$의 좌표

$P$는 $A(0,4)$와 $D(a,4)$를 $2:1$로 내분

$P(\frac{2a}{3},4)$

step3. 수직 조건으로 $a$ 구하기

$AC$ 기울기 $=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}$

$BP$ 기울기 $=\frac{4}{2a/3}=\frac{6}{a}$

$-\frac{1}{2}\times \frac{6}{a}=-1$   --- $AC⟂BP$이므로

$a=3$

$\therefore D(3,4),P(2,4)$

step4. 교점 $Q$ 구하기

직선 $AC$: $y=-\frac{1}{2}x+4$

직선 $BP$: $y=2x$

$2x=-\frac{1}{2}x+4⟹\frac{5}{2}x=4⟹x=\frac{8}{5}$

$y=\frac{16}{5}⟹Q(\frac{8}{5},\frac{16}{5})$

step5. 넓이 계산

밑변 $AD=3$

높이 $h=4-\frac{16}{5}=\frac{4}{5}$

$△AQD=\frac{1}{2}\times 3\times \frac{4}{5}=\frac{6}{5}$

$\therefore$ ①