수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 점 $B,C$의 좌표 구하기

점 $A(a,2)$를 직선 $y=x$에 대하여 대칭이동한 점 $B$의 좌표는 $x$좌표와 $y$좌표의 자리를 바꾼 $(2,a)$입니다.

점 $B(2,a)$를 $x$축에 대하여 대칭이동한 점 $C$의 좌표는 $y$좌표의 부호를 바꾼 $(2,-a)$입니다.

step2. $△ABC$의 외접원 반지름 $r_1$ 구하기

$△ABC$의 세 꼭짓점 $A,B,C$에서 원점 $O(0,0)$까지의 거리를 각각 구해봅시다.

$OA=\sqrt{a^2+2^2}=\sqrt{a^2+4}$

$OB=\sqrt{2^2+a^2}=\sqrt{a^2+4}$

$OC=\sqrt{2^2+(-a{)}^2}=\sqrt{a^2+4}$

세 점 $A,B,C$에서 원점 $O$까지의 거리가 모두 같으므로, 원점 $O$는 $△ABC$의 외심입니다.

따라서 $△ABC$의 외접원의 반지름 $r_1$은 $OA$의 길이와 같습니다.

$r_1=\sqrt{a^2+4}$

step3. $△AOC$의 외접원 반지름 $r_2$ 구하기

$△AOC$의 모양을 파악하기 위해 직선 $OA$와 직선 $OC$의 기울기를 구해봅시다.

직선 $OA$의 기울기 = $\frac{2-0}{a-0}=\frac{2}{a}$

직선 $OC$의 기울기 = $\frac{-a-0}{2-0}=-\frac{a}{2}$

두 기울기의 곱을 계산하면 $\frac{2}{a}\times (-\frac{a}{2})=-1$이 됩니다.

두 직선의 기울기의 곱이 -1이므로 $OA⟂OC$이고, $△AOC$는 $\angle AOC={90}^{\circ }$인 직각삼각형입니다.

직각삼각형의 외접원의 반지름은 빗변의 길이의 절반이라는 성질을 놓치면 계산이 매우 복잡해질 수 있습니다.

빗변 $AC$의 길이를 구해보면,

$AC=\sqrt{(a-2{)}^2+(2-(-a){)}^2}=\sqrt{(a-2{)}^2+(a+2{)}^2}=\sqrt{2a^2+8}=\sqrt{2(a^2+4)}$

따라서 $△AOC$의 외접원의 반지름 $r_2$는 빗변 $AC$의 절반입니다.

$r_2=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2(a^2+4)}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^2+4}$

step4. $a^2$의 값 구하기

문제에서 $r_1\times r_2=18\sqrt{2}$라고 주어졌으므로, 앞서 구한 $r_1,r_2$를 대입합니다.

$\sqrt{a^2+4}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^2+4}=18\sqrt{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}(a^2+4)=18\sqrt{2}$

양변에 $\sqrt{2}$를 나누고 2를 곱하여 정리하면,

$a^2+4=36$

$a^2=32$

따라서 구하는 $a^2$의 값은 32입니다.

step1. 점 $B,C$의 좌표

$A(a,2)⟹B(2,a)⟹C(2,-a)$

step2. $r_1$ 구하기

$OA=\sqrt{a^2+4}$

$OB=\sqrt{2^2+a^2}=\sqrt{a^2+4}$

$OC=\sqrt{2^2+(-a{)}^2}=\sqrt{a^2+4}$

--- $OA=OB=OC$이므로 원점 $O$가 $△ABC$의 외심

$\therefore r_1=\sqrt{a^2+4}$

step3. $r_2$ 구하기

$OA$ 기울기: $\frac{2}{a}$, $OC$ 기울기: $-\frac{a}{2}$

$\frac{2}{a}\times (-\frac{a}{2})=-1$

--- $OA⟂OC$이므로 $△AOC$는 직각삼각형

$AC=\sqrt{(a-2{)}^2+(2+a{)}^2}=\sqrt{2a^2+8}=\sqrt{2(a^2+4)}$

$\therefore r_2=\frac{1}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^2+4}$

step4. $a^2$ 구하기

$r_1\times r_2=\sqrt{a^2+4}\times \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{a^2+4}=18\sqrt{2}$

$\frac{\sqrt{2}}{2}(a^2+4)=18\sqrt{2}$

$a^2+4=36$

$\therefore a^2=32$