수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 점 $P$의 좌표 구하기

점 $P$는 $A(-8,a)$와 $B(7,3)$을 이은 선분 $AB$를 $2:1$로 내분하는 점입니다.

내분점 공식을 사용하면,

$x$좌표: $\frac{2\times 7+1\times (-8)}{2+1}=\frac{14-8}{3}=2$

$y$좌표: $\frac{2\times 3+1\times a}{2+1}=\frac{a+6}{3}$

따라서 점 $P$의 좌표는 $(2,\frac{a+6}{3})$ 입니다.

step2. 점 $Q$의 위치 파악하기

직선 $PC$가 선분 $OA$와 만나는 점을 $Q$라고 합시다.

직선 $PC$가 삼각형 $AOB$의 넓이를 이등분하므로, 삼각형 $AQP$의 넓이는 삼각형 $AOB$ 넓이의 절반이 되어야 합니다.

두 삼각형 $AQP$와 $AOB$는 각 $A$를 공유하므로, 넓이의 비는 이웃하는 두 변의 길이의 곱의 비와 같습니다.

즉, $\frac{△AQP}{△AOB}=\frac{AQ}{AO}\times \frac{AP}{AB}=\frac{1}{2}$ 입니다.

이때 점 $P$는 선분 $AB$를 $2:1$로 내분하므로, $\frac{AP}{AB}=\frac{2}{3}$ 입니다.

이를 대입하면,

$\frac{AQ}{AO}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{2}$

$\frac{AQ}{AO}=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}=\frac{3}{4}$

이 결과는 점 $Q$가 선분 $AO$를 $3:1$로 내분한다는 뜻입니다. $1:3$으로 헷갈리지 않도록 주의하세요.

step3. 점 $Q$의 좌표와 $a$의 값 구하기

점 $Q$는 $A(-8,a)$와 $O(0,0)$을 이은 선분 $AO$를 $3:1$로 내분하는 점입니다.

$x$좌표: $\frac{3\times 0+1\times (-8)}{3+1}=-2$

$y$좌표: $\frac{3\times 0+1\times a}{3+1}=\frac{a}{4}$

따라서 점 $Q$의 좌표는 $(-2,\frac{a}{4})$ 입니다.

이제 세 점 $C(-6,0)$, $Q(-2,\frac{a}{4})$, $P(2,\frac{a+6}{3})$ 가 모두 직선 $PC$ 위에 있으므로, 선분 $CQ$의 기울기와 선분 $CP$의 기울기가 같아야 합니다.

$CQ$의 기울기 = $\frac{\frac{a}{4}-0}{-2-(-6)}=\frac{\frac{a}{4}}{4}=\frac{a}{16}$

$CP$의 기울기 = $\frac{\frac{a+6}{3}-0}{2-(-6)}=\frac{\frac{a+6}{3}}{8}=\frac{a+6}{24}$

두 기울기가 같으므로,

$\frac{a}{16}=\frac{a+6}{24}$

양변에 48을 곱하면,

$3a=2(a+6)$

$3a=2a+12$

$a=12$

step1. 점 $P$의 좌표 구하기

$P=(\frac{2(7)+1(-8)}{3},\frac{2(3)+1(a)}{3})=(2,\frac{a+6}{3})$

step2. 점 $Q$의 위치 파악하기

직선 $PC$와 선분 $OA$의 교점을 $Q$라 하자.

$△AQP=\frac{1}{2}△AOB$

--- 두 삼각형이 $\angle A$를 공유하므로

$\frac{AQ}{AO}\times \frac{AP}{AB}=\frac{1}{2}$

$P$가 $AB$를 $2:1$로 내분하므로 $\frac{AP}{AB}=\frac{2}{3}$

$\frac{AQ}{AO}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{2}⟹\frac{AQ}{AO}=\frac{3}{4}$

--- 즉, $Q$는 $AO$를 $3:1$로 내분하는 점

step3. 점 $Q$의 좌표와 $a$의 값 구하기

$Q=(\frac{3(0)+1(-8)}{4},\frac{3(0)+1(a)}{4})=(-2,\frac{a}{4})$

세 점 $C(-6,0),Q(-2,\frac{a}{4}),P(2,\frac{a+6}{3})$가 한 직선 위에 있으므로

$m_{CQ}=m_{CP}$

$\frac{\frac{a}{4}-0}{-2-(-6)}=\frac{\frac{a+6}{3}-0}{2-(-6)}$

$\frac{a}{16}=\frac{a+6}{24}$

$3a=2a+12$

$\therefore a=12$