수학여정 - 문제 분석 리포트

step1. 교점의 x좌표 구하기

먼저 조건 (가)를 살펴볼게요. $f(x)-g(x)=-4(x+3)(x-2)$ 라고 주어져 있어요.

두 그래프가 만나는 점에서는 $f(x)=g(x)$가 되므로, $f(x)-g(x)=0$이 성립해야 해요.

$-4(x+3)(x-2)=0$ 을 만족하는 $x$의 값은 $x=-3$ 또는 $x=2$ 입니다.

따라서 두 점 A, B의 $x$좌표는 각각 $-3$과 $2$가 됩니다.

교점에서는 두 함수의 함숫값이 같으므로 $f(-3)=g(-3)$ 이고 $f(2)=g(2)$ 가 성립합니다.

step2. 기울기와 교점 성질로 연립방정식 세우기

이제 두 점 A, B의 좌표를 $(-3,f(-3))$과 $(2,f(2))$로 둘 수 있어요.

문제에서 직선 AB의 기울기가 $-1$이라고 했으므로, 기울기 구하는 공식을 써볼게요.

$\frac{f(2)-f(-3)}{2-(-3)}=-1$

분모가 $5$이므로 양변에 $5$를 곱하면,

$f(2)-f(-3)=-5$ 라는 첫 번째 식을 얻을 수 있어요.

다음으로 조건 (나)를 볼게요. $f(-3)+g(2)=5$ 라고 되어 있죠?

$g(2)$를 그대로 두고 풀려고 하면 미지수가 많아져서 식이 풀리지 않아요. step1에서 찾은 교점의 성질을 꼭 기억하세요!

우리는 $g(2)=f(2)$라는 것을 알고 있으므로, 이 식을 $f(-3)+f(2)=5$ 로 바꿔 쓸 수 있어요. 이렇게 하면 $f$에 대한 두 번째 식이 완성됩니다.

step3. f(x)의 식 완성하기

step2에서 구한 두 식을 연립해 볼까요?

1) $f(2)-f(-3)=-5$

2) $f(2)+f(-3)=5$

두 식을 더하면 $2f(2)=0$ 이 되어 $f(2)=0$ 이 됩니다.

두 식을 빼면 $-2f(-3)=-10$ 이 되어 $f(-3)=5$ 가 됩니다.

이제 $f(x)$의 식을 구체적으로 찾아볼게요.

$f(x)=a{x}^2+bx+c$, $g(x)=a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }$ 라고 해봅시다.

문제에서 두 이차함수의 최고차항 계수의 절댓값이 같다고 했으므로 $|a|=|a^{\prime }|$ 입니다.

그리고 $f(x)-g(x)$의 최고차항 계수는 $a-a^{\prime }$ 인데, 조건 (가)의 식 $-4(x+3)(x-2)$를 전개하면 최고차항이 $-4x^2$이므로 $a-a^{\prime }=-4$ 가 되어야 해요.

$|a|=|a^{\prime }|$ 이면서 $a-a^{\prime }=-4$ 를 만족하는 값은 $a=-2$, $a^{\prime }=2$ 뿐입니다.

따라서 $f(x)=-2x^2+bx+c$ 가 됩니다.

여기에 아까 구한 $f(2)=0$ 과 $f(-3)=5$ 를 대입해 볼게요.

$f(2)=-2(2{)}^2+2b+c=-8+2b+c=0$ $⟹$ $2b+c=8$

$f(-3)=-2(-3{)}^2-3b+c=-18-3b+c=5$ $⟹$ $-3b+c=23$

위의 식에서 아래 식을 빼면 $5b=-15$ 이므로 $b=-3$ 이 됩니다.

$b=-3$을 $2b+c=8$에 대입하면 $-6+c=8$ 이 되어 $c=14$ 가 됩니다.

드디어 $f(x)=-2x^2-3x+14$ 라는 식을 완성했어요!

step4. 최종 정답 계산하기

우리가 구해야 하는 값은 $f(-1)+g(-1)$ 입니다.

먼저 $f(-1)$을 계산해 볼까요?

$f(-1)=-2(-1{)}^2-3(-1)+14=-2+3+14=15$ 입니다.

이제 $g(-1)$을 구해야 하는데, $g(x)$의 식을 따로 구해도 되지만 조건 (가)의 식을 이용하면 훨씬 빠릅니다.

$f(-1)-g(-1)=-4(-1+3)(-1-2)$

$15-g(-1)=-4(2)(-3)$

$15-g(-1)=24$

따라서 $g(-1)=15-24=-9$ 가 됩니다.

최종적으로 $f(-1)+g(-1)=15+(-9)=6$ 이 됩니다.

step1. 교점의 x좌표 구하기

$f(x)-g(x)=-4(x+3)(x-2)=0$

교점의 $x$좌표는 $x=-3,2$

--- 교점에서는 함숫값이 같으므로

$f(-3)=g(-3),f(2)=g(2)$

step2. 기울기와 교점 성질로 연립방정식 세우기

기울기: $\frac{f(2)-f(-3)}{2-(-3)}=-1⟹f(2)-f(-3)=-5$

조건 (나): $f(-3)+g(2)=5⟹f(-3)+f(2)=5$

step3. f(x)의 식 완성하기

두 식을 연립하면 $f(2)=0,f(-3)=5$

$f(x)=a{x}^2+bx+c,g(x)=a^{\prime }{x}^2+b^{\prime }x+c^{\prime }$라 하면

$|a|=|a^{\prime }|$이고 $a-a^{\prime }=-4$이므로 $a=-2,a^{\prime }=2$

$f(x)=-2x^2+bx+c$에 대입:

$-8+2b+c=0⟹2b+c=8$

$-18-3b+c=5⟹-3b+c=23$

연립하면 $b=-3,c=14⟹f(x)=-2x^2-3x+14$

step4. 최종 정답 계산하기

$f(-1)=-2+3+14=15$

$g(-1)=f(-1)+4(-1+3)(-1-2)=15-24=-9$

$\therefore f(-1)+g(-1)=15-9=6$