는 양쪽 끝이 아래로 한없이 내려가는 모양입니다. 중간에 아래로 볼록한 가 끼어 있으므로, 산봉우리 2개와 계곡 1개가 있는 '비대칭 M자' 모양이 될 가능성이 높아요. 가로선 를 위아래로 움직여보면, 교점이 3개가 되는 순간은 '계곡의 바닥(극소)'을 지날 때와 '낮은 산봉우리(작은 극대)'를 지날 때뿐입니다. 따라서 극솟값이 2, 작은 극댓값이 3이라는 것을 눈치채는 것이 핵심입니다!
step1. 의 그래프 개형과 극값을 분석하여 의 값을 구합니다.
는 위로 볼록, 는 아래로 볼록한 이차함수입니다.
는 일 때 를 따라 로 발산합니다.
따라서 는 전체적으로 위로 볼록한 형태 안에 아래로 파인 구간이 있는 모양입니다.
가로선 와 만나는 점이 3개인 가 2와 3뿐이려면, 의 극솟값이 2이고, 두 극댓값 중 작은 값이 3이어야 합니다.
극소는 아래로 볼록한 의 꼭짓점에서 발생하므로, 의 꼭짓점의 좌표인 가 됩니다.
step2. 와 세 점에서 만나는 조건을 통해 의 극댓값을 파악합니다.
이므로 가 됩니다.
의 극댓값은 의 꼭짓점(최댓값 11)이거나, 두 함수의 교점인 에서 발생합니다.
만약 의 꼭짓점 가 와 사이에 있다면, 의 그래프에서 의 꼭짓점 부분은 잘려나갑니다.
이 경우 는 와 에서 뾰족한 극댓값을 갖게 됩니다.
두 극댓값 와 중 하나가 3이어야 합니다. 이라고 자연스럽게 가정해 봅시다.
극댓값이 3이라고 해서 과 만나는 점이 1개인 것은 아닙니다. 다른 쪽 산봉우리가 더 높기 때문에 그쪽 사면에서 2번 더 만나 총 3개의 교점이 생깁니다.
step3. 와 이 만나는 점의 좌표를 구하여 와 를 계산합니다.
과 만나는 세 점을 찾아봅시다.
1) 에서 이므로 교점입니다. 을 풀면 입니다. 이므로 입니다.
2) 을 풀면 입니다. 이므로 다른 한 점은 입니다.
3) 의 다른 근 는 보다 크므로 교점입니다.
따라서 입니다.
이제 와 만나는 세 점을 찾아봅시다.
1) 에서 (극소점)입니다.
2) 를 풀면 입니다.
따라서 입니다.
step4. 조건을 이용하여 를 구하고 최종 답을 계산합니다.
입니다.
문제에서 라고 했으므로, 입니다.
이고, 이므로 입니다.
이제 , 이 완성되었습니다.
를 연립하여 풀면 가 나옵니다.
따라서 입니다.
우리가 구해야 할 값은 입니다.
은 보다 크므로 에 대입합니다.
입니다.
step1. 의 그래프 개형과 극값
는 일 때 로 발산하므로 비대칭 M자 개형.
와 세 점에서 만나는 은 각각 극솟값과 작은 극댓값.
극소는 의 꼭짓점에서 가지므로 .
step2. 의 극댓값 파악
의 작은 극댓값이 에서 3이라고 가정하면 .
step3. 와 계산
--- 이므로
--- 이므로 다른 교점은
교점:
교점:
step4. 계산 및 정답 도출
