2024년 9월 학력평가 수학 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]

사각형

A P R Q

가 정사각형이라는 조건이 가장 중요합니다.

Q

와

R

이 직선

B C

위에 내린 수선의 발이므로

A Q

와

P R

은 서로 평행합니다. 정사각형이 되려면 마주보는 변인

A P

와

Q R

(즉, 직선

B C

)도 평행해야 합니다. 이 평행 조건을 쓰면 복잡해 보이는 미지수 하나를 쉽게 찾을 수 있습니다.

step1. 이차함수의 식을 세우고 각 점의 좌표 구하기

최고차항의 계수를 $k$ ( $k > 0$ )라고 하면, $x$ 축과 만나는 두 점이 $A (2, 0)$ , $B (a, 0)$ 이므로 이차함수의 식은 $f (x) = k (x - 2) (x - a)$ 로 둘 수 있어요.

$y$ 축과 만나는 점 $C$ 의 좌표는 $x = 0$ 을 대입하여 $C (0, 2 k a)$ 가 됩니다.

꼭짓점 $P$ 의 $x$ 좌표는 두 $x$ 절편의 중점이므로 $\frac{a + 2}{2}$ 입니다.

$y$ 좌표는 $f (\frac{a + 2}{2}) = k (\frac{a + 2}{2} - 2) (\frac{a + 2}{2} - a) = k (\frac{a - 2}{2}) (- \frac{a - 2}{2}) = - k \frac{(a - 2)^{2}}{4}$ 가 됩니다.

따라서 꼭짓점은 $P (\frac{a + 2}{2}, - k \frac{(a - 2)^{2}}{4})$ 입니다.

step2. 사각형 $A P R Q$ 가 정사각형이 될 조건 찾기

$Q, R$ 은 직선 $B C$ 에 내린 수선의 발이므로 $A Q ⟂ B C$ , $P R ⟂ B C$ 입니다. 따라서 $A Q$ 와 $P R$ 은 서로 평행( $A Q ∥ P R$ )합니다.

사각형 $A P R Q$ 가 정사각형이 되려면 마주보는 변인 $A P$ 와 $Q R$ 도 평행해야 합니다. $Q, R$ 이 직선 $B C$ 위에 있으므로, 직선 $A P$ 와 직선 $B C$ 가 평행해야 한다는 뜻이죠.

또한, 정사각형은 네 변의 길이가 모두 같으므로 이웃한 두 변인 $A P$ 와 $A Q$ 의 길이가 같아야 합니다 ( $A P = A Q$ ).

step3. 평행 조건을 이용하여 $a$ 의 값 구하기

직선 $B C$ 의 기울기를 구해볼까요? $B (a, 0)$ 과 $C (0, 2 k a)$ 를 지나므로 기울기는 $\frac{2 k a - 0}{0 - a} = - 2 k$ 입니다.

직선 $A P$ 의 기울기는 $A (2, 0)$ 과 $P (\frac{a + 2}{2}, - k \frac{(a - 2)^{2}}{4})$ 를 지나므로 $\frac{- k \frac{(a - 2)^{2}}{4} - 0}{\frac{a + 2}{2} - 2} = \frac{- k \frac{(a - 2)^{2}}{4}}{\frac{a - 2}{2}} = - k \frac{a - 2}{2}$ 가 됩니다.

두 직선이 평행하므로 기울기가 같아야 해요.

$- 2 k = - k \frac{a - 2}{2}$

$k > 0$ 이므로 양변을 $- k$ 로 나누면 $2 = \frac{a - 2}{2}$ 가 됩니다.

따라서 $a - 2 = 4$ 가 되어 $a = 6$ 임을 알 수 있습니다.

step4. 이웃한 두 변의 길이가 같다는 조건으로 $k$ 의 값 구하기

$a = 6$ 을 대입하면 점의 좌표들이 훨씬 간단해집니다.

$A (2, 0)$ , $P (4, - 4 k)$ 가 되고, 직선 $B C$ 는 $x$ 절편이 $6$ 이고 기울기가 $- 2 k$ 이므로 $y = - 2 k (x - 6)$ , 즉 $2 k x + y - 12 k = 0$ 이 됩니다.

이제 선분 $A P$ 의 길이를 구해봅시다.

$A P = \sqrt{(4 - 2)^{2} + (- 4 k - 0)^{2}} = \sqrt{4 + 16 k^{2}} = 2 \sqrt{1 + 4 k^{2}}$

다음으로 선분 $A Q$ 의 길이는 점 $A (2, 0)$ 에서 직선 $2 k x + y - 12 k = 0$ 까지의 거리와 같습니다.

$A Q = \frac{| 2 k (2) + 0 - 12 k |}{\sqrt{(2 k)^{2} + 1^{2}}} = \frac{| - 8 k |}{\sqrt{4 k^{2} + 1}} = \frac{8 k}{\sqrt{4 k^{2} + 1}}$ ( $k > 0$ 이므로 절댓값은 그냥 벗겨집니다.)

$A P = A Q$ 를 풀 때 무리식이 있다고 당황하지 마세요. 양변에 분모를 곱하고 제곱하면 계산이 아주 깔끔해집니다.

$2 \sqrt{1 + 4 k^{2}} = \frac{8 k}{\sqrt{4 k^{2} + 1}}$

양변에 $\sqrt{4 k^{2} + 1}$ 을 곱하면 $2 (1 + 4 k^{2}) = 8 k$ 가 됩니다.

양변을 $2$ 로 나누고 정리하면 $4 k^{2} - 4 k + 1 = 0$ 이 되고, 이는 $(2 k - 1)^{2} = 0$ 으로 인수분해됩니다.

따라서 $k = \frac{1}{2}$ 입니다.

step5. 완성된 $f (x)$ 에 $x = 12$ 를 대입하여 정답 구하기

이제 $k$ 와 $a$ 를 모두 구했으니 이차함수의 식이 완성되었습니다.

$f (x) = \frac{1}{2} (x - 2) (x - 6)$

우리가 구해야 하는 것은 $f (12)$ 의 값이므로 $x = 12$ 를 대입합니다.

$f (12) = \frac{1}{2} (12 - 2) (12 - 6) = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30$

따라서 정답은 $30$ 입니다.

step1. 이차함수의 식을 세우고 각 점의 좌표 구하기

$f (x) = k (x - 2) (x - a) (k > 0, a > 2)$

$A (2, 0), B (a, 0), C (0, 2 k a)$

$P (\frac{a + 2}{2}, - k \frac{(a - 2)^{2}}{4})$

step2. 사각형 $A P R Q$ 가 정사각형이 될 조건 찾기

$A Q ⟂ B C, P R ⟂ B C \Rightarrow A Q ∥ P R$

정사각형이므로 $A P ∥ B C$ , $A P = A Q$

step3. 평행 조건을 이용하여 $a$ 의 값 구하기

$B C$ 기울기 = $\frac{2 k a}{- a} = - 2 k$

$A P$ 기울기 = $\frac{- k (a - 2)^{2} / 4}{(a - 2) / 2} = - k \frac{a - 2}{2}$

$- 2 k = - k \frac{a - 2}{2} \Rightarrow a = 6$

step4. 이웃한 두 변의 길이가 같다는 조건으로 $k$ 의 값 구하기

$A (2, 0), P (4, - 4 k)$

$B C$ 방정식: $2 k x + y - 12 k = 0$

$A P = \sqrt{4 + 16 k^{2}} = 2 \sqrt{1 + 4 k^{2}}$

$A Q = \frac{| 4 k - 12 k |}{\sqrt{4 k^{2} + 1}} = \frac{8 k}{\sqrt{4 k^{2} + 1}}$

$2 \sqrt{1 + 4 k^{2}} = \frac{8 k}{\sqrt{4 k^{2} + 1}}$

$1 + 4 k^{2} = 4 k \Rightarrow (2 k - 1)^{2} = 0 \Rightarrow k = \frac{1}{2}$

step5. 완성된 $f (x)$ 에 $x = 12$ 를 대입하여 정답 구하기

$f (x) = \frac{1}{2} (x - 2) (x - 6)$

$f (12) = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30$

2024년 9월 학력평가 고1 수학 28번 풀이 해설 [이해용/실전용]
문제의 분류	공통수학1 · 이차함수 / 도형의 방정식 / 직선의 방정식
난이도	중상

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