2024년 9월 학력평가 수학 14번 풀이 해설 [이해용/실전용]

문제를 읽을 때 두 가지 핵심 조건이 보이나요? '중근을 가진다'와 '

k

의 값에 관계없이'입니다. 이럴 때는 방정식의 주인공인

x

에 대해 먼저 판별식을 써서 식을 하나 만들고, 그 다음 그 식이

k

에 대한 항등식임을 이용해

k

로 묶어주는 순서로 접근하는 것이 핵심입니다.

step1. 이차방정식의 판별식 적용

주어진 방정식은 $x$ 에 대한 이차방정식이고, 중근을 가진다고 했으므로 판별식이 0이 되어야 해요. $x$ 의 계수가 $- 2 (k - a)$ 로 짝수 형태이므로 짝수 판별식 $D / 4$ 를 사용해 볼게요.

$D / 4 = (k - a)^{2} - (k^{2} - 4 k + b) = 0$

여기서 $k$ 에 대한 항등식 조건을 먼저 생각해서 식을 $k$ 로 묶으려고 하면 안 돼요. 먼저 $x$ 에 대한 이차방정식의 판별식을 적용하는 것이 올바른 순서랍니다.

step2. $k$ 에 대한 항등식으로 정리

step1에서 구한 식을 전개해 볼까요?

$k^{2} - 2 a k + a^{2} - k^{2} + 4 k - b = 0$

$k^{2}$ 항은 지워지고, 남은 식을 $k$ 가 있는 항과 없는 항으로 묶어서 정리해 줍니다.

$(- 2 a + 4) k + (a^{2} - b) = 0$

문제에서 '실수 $k$ 의 값에 관계없이 항상' 성립한다고 했으므로, 이 식은 $k$ 에 대한 항등식이에요. 따라서 $k$ 에 대해 내림차순으로 정리하는 것이 포인트입니다.

step3. 상수 $a, b$ 구하기

$k$ 에 대한 항등식 $(- 2 a + 4) k + (a^{2} - b) = 0$ 이 항상 성립하려면, $k$ 의 계수와 상수항이 모두 0이어야 해요.

$- 2 a + 4 = 0$ 에서 $a = 2$ 가 됩니다.

$a^{2} - b = 0$ 에 $a = 2$ 를 대입하면 $2^{2} - b = 0$ 이 되어 $b = 4$ 가 되죠.

따라서 우리가 구하고자 하는 $a + b$ 의 값은 $2 + 4 = 6$ 입니다.

step1. 이차방정식의 판별식 적용

$D / 4 = (k - a)^{2} - (k^{2} - 4 k + b) = 0$

step2. $k$ 에 대한 항등식으로 정리

$k^{2} - 2 a k + a^{2} - k^{2} + 4 k - b = 0$

$(- 2 a + 4) k + (a^{2} - b) = 0$ --- $k$ 에 대한 항등식이므로

step3. 상수 $a, b$ 구하기

$- 2 a + 4 = 0 ⟹ a = 2$

$a^{2} - b = 0 ⟹ 4 - b = 0 ⟹ b = 4$

$∴ a + b = 6$

수학여정 - 문제 분석 리포트