2024년 9월 학력평가 수학 12번 풀이 해설 [이해용/실전용]

식을 처음 봤을 때

x^{2} + x

가 반복해서 나오는 것을 발견하는 것이 중요해요. 무작정 전개하면 4차식이 되어 복잡해지므로, 반복되는 부분을 하나의 문자로 치환해서 간단한 2차식으로 만들어야겠다는 생각을 먼저 해야 합니다.

step1. 공통부분 치환하기

주어진 다항식 $(x^{2} + x) (x^{2} + x + 2) - 8$ 을 보면 $x^{2} + x$ 가 반복되고 있어요.

반복되는 부분인 $x^{2} + x$ 를 대문자 $X$ 로 치환해 봅시다.

그러면 식은 $X (X + 2) - 8$ 이 됩니다.

이를 전개하면 $X^{2} + 2 X - 8$ 이 되죠.

step2. 치환한 식 인수분해하기

이제 $X^{2} + 2 X - 8$ 을 인수분해해 볼까요?

곱해서 $- 8$ 이 되고 더해서 $2$ 가 되는 두 수는 $4$ 와 $- 2$ 입니다.

따라서 $(X + 4) (X - 2)$ 로 인수분해할 수 있어요.

step3. 원래 식 대입 및 추가 인수분해

이제 $X$ 자리에 원래의 식인 $x^{2} + x$ 를 다시 대입해 줍니다.

$(x^{2} + x + 4) (x^{2} + x - 2)$ 가 되네요.

여기서 끝났다고 생각하고 멈추면 안 됩니다! 각 괄호 안의 식이 더 인수분해되는지 확인해야 해요.

앞의 괄호 $x^{2} + x + 4$ 는 더 이상 인수분해되지 않지만, 뒤의 괄호 $x^{2} + x - 2$ 는 $(x + 2) (x - 1)$ 로 한 번 더 인수분해됩니다.

따라서 최종적으로 인수분해된 식은 $(x^{2} + x + 4) (x + 2) (x - 1)$ 이 됩니다.

step4. 계수 비교하여 답 구하기

우리가 구한 식 $(x - 1) (x + 2) (x^{2} + x + 4)$ 를 문제에서 주어진 형태인 $(x - 1) (x + a) (x^{2} + x + b)$ 와 비교해 봅니다.

순서를 맞춰보면 $a = 2$ , $b = 4$ 임을 알 수 있어요.

따라서 우리가 구하고자 하는 $a + b$ 의 값은 $2 + 4 = 6$ 입니다.

step1. 공통부분 치환하기

$x^{2} + x = X$ 로 치환

$X (X + 2) - 8 = X^{2} + 2 X - 8$

step2. 치환한 식 인수분해하기

$X^{2} + 2 X - 8 = (X + 4) (X - 2)$

step3. 원래 식 대입 및 추가 인수분해

$(x^{2} + x + 4) (x^{2} + x - 2)$ --- $X = x^{2} + x$ 대입

$= (x^{2} + x + 4) (x + 2) (x - 1)$ --- $x^{2} + x - 2$ 인수분해

step4. 계수 비교하여 답 구하기

$(x - 1) (x + a) (x^{2} + x + b)$ 와 비교하면

$a = 2, b = 4$

$∴ a + b = 6$

수학여정 - 문제 분석 리포트